1.3 线性变换

本节主要研究线性空间中元素之间的关系，介绍映射、线性变换的概念、线性变换的矩阵表示及其有关子空间。

1.3.1 线性变换的概念及实例

若不特别提出，下面所考虑的都是固定在某一数域F上的线性空间。

定义1.3.1 设V1，V2是两个线性空间，若对于某个指定的法则T，使V1中任意一元素α都能与V2中的一个确定元素β相对应，则T称为由V1到V2的一个映射，记为

β=T（α）

β称为α在映射T下的像，而α称为β的原像。

若T同时还满足：

对任意的α1，α2∈V有

T（α1+α2）=T（α1）+T（α2）

及对任意k∈F，α∈V，有

T（kα）=kT（α）

则称T为从V1到V2的一个线性映射。

定义1.3.2 若T为线性空间V到自身的一个映射，则T称为V的一个变换。若变换T对于V中任意的元素α、β和数域F中的任意数k，还同时满足

T（α+β）=T（α）+T（β）

T（kα）=kT（α）

则称T为线性空间V的一个线性变换。

我们可以把定义1.3.2中两个条件用一个表达式来表示，即T是V的线性变换的充分必要条件是

T（kα+lβ）=kT（α）+lT（β）

其中，α与β是V中任意向量，k与l是数域F中任意数。

以后一般用白斜体拉丁字母A，B，C，…，T，…代表线性空间V的线性变换，T（α）或Tα代表元素α在线性变换T下的像。

线性变换的丰富内容可从下面的几个例子显示出来。

【例1.3.1】 设R4×4是实数域R上全体4阶方阵的集合，A为R4×4中任意一个4阶方阵

T（A）=|A|

表示T是R4×4到R的一个映射。

【例1.3.2】 在平面几何空间R2中，把任一向量x=（x1，x2）T在平面上绕原点按逆时针方向旋转θ角后，得到向量y=（y1，y2）T。它们之间的关系用以下公式表示：

即

y=T（x）

根据定义，易说明T是R2的线性变换。

【例1.3.3】 关于F[x]n的求导变换D。对任意f（x）∈F[x]n有D[f（x）]=f′（x），则求导变换D是F[x]n上的一个线性变换。

【例1.3.4】 设C[a，b]表示定义在闭区间[a，b]上全体实连续函数组成的实数域上的线性空间。在C[a，b]中，变换

其中，f（t）是C[a，b]中任意实连续函数。

用定义不难验证积分变换∫是C[a，b]上的一个线性变换。

【例1.3.5】 在线性空间V中，

（1）把V中的任意向量α变成α的变换，称为V的恒等变换或单位变换，记做I，即

I（α）=α

（2）把V中的任意向量α变成零向量的变换，称为V的零变换，记做T0，即

T0（α）=0

（3）设k是F中的某个数，把V中任意向量α变成kα的变换，称为V的数乘变换，记做K，即

K（α）=kα

当k=1时，得到单位变换I；当k=0时，得到零变换T0。

易证明单位变换、零变换和数乘变换都是线性变换。

线性变换有如下简单性质：

若T是V的线性变换，则

（1）T（0）=0， T（-α）=-T（α）。

（2）若β=k1α1+k2α2+…+kmαm，则有

T（β）=k1T（α1）+k2T（α2）+…+kmT（αm）

又若k1α1+k2α2+…+kmαm=0，则有

k1T（α1）+k2T（α2）+…+kmT（αm）=0

其中，β，αi∈V，ki∈F（i=1，2，…，m）。上式表明，线性变换保持线性关系式不变。

（3）若α1，α2，…，αm∈V，且α1，α2，…，αm线性相关，则T（α1），T（α2），…，T（αm）也线性相关。即线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

要注意的是，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。

1.3.2 线性变换的运算

定义1.3.3 设线性变换T1、T2和T都是线性空间V的线性变换，k∈F，若

（1）对任意向量α∈V，均有T1（α）=T2（α），则称T1与T2相等，记为T1=T2；

（2）对任意向量α∈V，均有T1（α）+T2（α）=T（α），则称T为T1与T2的和，记为T=T1+T2；

（3）对任意向量α∈V，任意k∈F，均有T（α）=k（T1（α）），则T为T1与k的乘积，记为T=kT1；

（4）若对任意向量α∈V，有（-T）（α）=-T（α），则（-T）为T的负变换；

（5）对于任意向量α∈V，均有T（α）=T1（T2（α）），则称T为T1与T2的积，记为T=T1T2；

（6）设T1是V的线性变换，若在V中有线性变换T2存在，使对于任意向量α∈V，有

T1T2（α）=T2T1（α）=I（α）

这时，线性变换T1称为可逆的。T2称为T1的逆变换，记为，且逆变换是唯一的。

要注意的是，一般情况下线性变换的乘积不满足交换律，即T1T2≠T2T1。对线性变换的运算，通过验证易得到如下结论：

线性变换的和、数乘、积、逆变换与负变换都仍是线性变换。

这里要指出的是，定义1.3.3所提到的线性变换的加法和数乘具有以下性质：

线性变换的加法满足：

（1）T1+T2=T2+T1；

（2）（T1+T2）+T3=T1+（T2+T3）；

（3）T+T0=T；

（4）T+（-T）=T0。

线性变换的数乘满足：

（1）1·T=T；

（2）k（lT）=（kl）T；

（3）（k+l）T=kT+lT。

其中T1、T2、T3、T0、T、（-T）都是数域F上线性空间V的线性变换，k、l是F中任意的数。

由线性变换的加法与数乘定义及其性质，看出线性空间中所有线性变换所构成的集合，在规定的运算下构成V的一个新线性子空间。

1.3.3 线性变换的矩阵表示

由于线性变换的概念比较抽象，为了研究方便，现来建立线性变换与矩阵的联系。

首先说明，当数域F上n维线性空间V取定一组基α1，α2，…，αn后，V中的一个线性变换T可与Fn×n中的矩阵A有一个一一对应的关系，可形式地表示为

事实上，由线性变换T唯一地确定了基的像T（α1），T（α2），…，T（αn），所以它们在给定基下都有确定的坐标。以T（αj）在给定基下的坐标作为矩阵A的第j列，这就构造了唯一确定的一个n阶方阵A。

反之，取定Fn×n中一个矩阵A，则A的n个列唯一确定n个向量β1，β2，…，βn分别作为α1，α2，…，αn的像，就可唯一确定V的一个线性变换T，其中βj关于基α1，α2，…，αn的坐标是A的第j列元素。

下面给出线性变换矩阵表示的定义。

定义1.3.4 设T是n维线性空间V的一个线性变换，α1，α2，…，αn是V的一个基，设

用矩阵形式表示为

其中

称A为线性变换T在基α1，α2，…，αn下的矩阵。

显然，线性空间V中的零变换、单位变换、数乘变换在任意一个基下的矩阵分别为零矩阵、单位矩阵和数量矩阵。

【例1.3.6】 求F[x]n的求导变换D，在基1，x，x2，…，xn-1下的矩阵。

解 因为

D（1）=0，D（x）=1，D（x2）=2x，…，D（xn-1）=（n-1）xn-2

所以

所求矩阵为

在取定一组基后，线性变换与n阶矩阵是一一对应关系，它可以保持运算。

定理1.3.1 若α1，α2，…，αn是n维线性空间V的一个基，则在这组基下，每个线性变换按式（1.3.1）都可对应一个n阶方阵，这个对应有以下性质：

（1）线性变换的和对应矩阵的和；

（2）线性变换的乘积对应矩阵的乘积；

（3）线性变换与数的乘积对应矩阵与数的乘积；

（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

证略。

利用线性变换的矩阵可以求出一个向量的像。

定理1.3.2 设线性变换T在基α1，α2，…，αn下的矩阵是A，向量α及其像T（α）在基α1，α2，…，αn下的坐标分别是（x1，x2，…，xn）T与（y1，y2，…，yn）T，则有

证 已知

及

于是

将式（1.3.2）代入，有

又因为α1，α2，…，αn线性无关，所以

下面的定理给出同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，这对以后的讨论很重要。

定理1.3.3 设线性空间V中，线性变换T在基（1）α1，α2，…，αn与基（2）β1，β2，…，βn下的矩阵分别是A和B，由基（1）到基（2）的过渡矩阵是P，则有B=P-1AP。

证 已知

于是

与式（1.3.4）比较，有

B=P-1AP

所以，同一线性变换在不同基下的矩阵是相似关系。

【例1.3.7】 已知R3中线性变换T在基β1=（-1，1，1）T，β2=（1，0，-1）T，β3=（0，1，1）T下的矩阵为

求：（1）T在基α1=（1，0，0）T，α2=（0，1，0）T，α3=（0，0，1）T下的矩阵；

（2）向量η=（1，0，1）T及T（η）在β1，β2，β3下的坐标。

解（1）由

得到基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵P

又已知

即线性变换T在基β1，β2，β3下的矩阵为

设线性变换T在基α1，α2，α3下的矩阵为A，即

T（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）A

由定理1.3.3有B=P-1AP，求出

所以

A即为所求。

（2）设

解此非齐次线性方程组，得

x1=-2，x2=-1，x3=2

所以，η在基β1，β2，β3下的坐标为（-2，-1，2）T。

设T（η）在基β1，β2，β3下的坐标为（y1，y2，y3）T，可由定理1.3.2所给出的公式求出，即

其中，B为线性变换T在基β1，β2，β3下的矩阵。由于B已在前面求出，所以

*1.3.4 线性映射的矩阵表示

定义1.3.5 设T是由n维线性空间V1到m维线性空间V2的一个线性映射，α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βm分别是V1与V2的一个基，则

可形式地写成

设

上式可写成

T（α1，α2，…，αn）=（β1，β2，…，βm）A

我们称矩阵A为线性映射T在V1基α1，α2，…，αn与V2基β1，β2，…，βm下的矩阵。上式称为线性映射在一对基下的矩阵表示。

可以证明在V1与V2的一对基下，线性映射T与矩阵A之间是一一对应的。

定理1.3.4 设T是由n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射，α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βm分别是V1与V2的一个基，T在给定的一对基下的矩阵为A。若任意向量α∈V1，且Tα∈V2，在给定基下，它们的坐标分别为（x1，x2，…，xn）T和（y1，y2，…，ym）T，则有

此定理的证明与定理1.3.2的证明类似，留给读者自证。

定理1.3.4说明，有了线性映射在一对基下矩阵表示，就可以求出V1中向量α的坐标与它在V2中像的坐标之间的关系。

下面的定理将给出线性映射在不同对基下矩阵之间的关系。

定理1.3.5 设T是由n维线性空间V1到m维线性空间V2的一个线性映射，α1，α2，…，αn与α′1，α′2，…，α′n是V1的两个基，由αi到α′i（i=1，2，…，n）的过渡矩阵为P1。β1，β2，…，βm与β′1，β′2，…，β′m是V2的两个基，由βj到β′j（j=1，2，…，m）的过渡矩阵为P2。线性映射T在基α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βm下的矩阵表示为A，在基α′1，α′2，…，α′n与β′1，β′2，…，β′m下的矩阵表示为B，则有

证略。由矩阵等价的定义知，矩阵A与矩阵B是等价的。

定理1.3.5说明，由n维线性空间V1到m维线性空间V2的一个线性映射T有一系列的m×n矩阵表示：A，B，…，它们之间的关系是等价关系。