1.3 数独中的排列组合

其实数独中的排列组合实例不胜枚举。这里仅举数例。其他一些实例分散在数独中的求解，设计和特性的章节中，请读者随时注意。

例1，大列首块一横条的错开（参看4.1.1.2节的模式法）：欲使大列首块一横条321三字在中块内错开有几种方式？

错开乃是数独设计的精髓。数独大列首块一横条上三字如何在中块内错开，按数独的八个标本（见4.1.1.4）有两方式，一是三字分配到中块的横条的三格内，一格一字，这叫散开式。比如图1-12（a）。二是三字分配到中块的两格内，其中有一格两字龟缩到一起，这叫龟缩式，如图1-12（b）所示。

欲求首块一横条三字如何在中块按散开式错开，须引用排列组合中的守位离位概念。横条三字321如原封不动叫守位，如果任一数字离开了原位叫离位。根据三字的守位离位情况即可摘出三字的两个错开方式。横条321三字有6个排列（=3×2×1=6），其成果表（排队列表法）如图1-13所示。

其中只有0字守位才是对321的错开：

也可以运用以下思路得到上述结果（见图1-14）。

再借以上的交叉线图即得321之两种错开方式：

故三字横条的散开式两错开方式可规范化如下（见图1-15）。

由此图可见3个1、3个2、3个3彻底错开。

以上单条在中块内的错开方法，可以推广到大列首块的三竖条如何在中块内、末块内错开（见图1-16）。

结果为3个147条、3个258条、3个369条得到彻底的错开。

以上由首块单横条三字在大列中的错开，之所以可以推广到首块三竖条，乃是三横条每横条三字错开叠加的必然结果，见图1-17。

例2，一井块有多少个排列？设首块由九字（1、2、3、…、9）之321、654、987三条组成，如将三条条序打乱，再将每条的字序打乱，问可得多少个条序排列？多少个字序排列？

条序排列

今将321、654、987三条分别简称为①②③三条，如将三条条序打乱所得条序排列可用公式求之。由此可得以下=3×2×1=6个（条序排列）。

字序排列

每一井块有九格，每格填入九字之一，即九格填入九字，问共有多少字序排列？

#1格内可填入九字之任一故有9方式；

#2格内可填入其余八字之任一故有8方式；

#3格内可填入其余七字之任一故有7方式；

#4格内可填入其余六字之任一故有6方式；

#5格内可填入其余五字之任一故有5方式；

#6格内可填入其余四字之任一故有4方式；

#7格内可填入其余三字之任一故有3方式；

#8格内可填入其余两字之一故有2方式；

#9格内可填入其余一字故只有1方式。

按a×b×c法则，今每件事各含9个成分，完成第一成分有9种方式，完成第二成分有8种方式……完成第九成分有1种方式，则完成九个成分共有9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880个（方式）。

上式各因子不可颠倒，故答数为排列数（字序排列数），故一个井块可有362880个字序排列。

例3，一井块有多少个三条组合1？

据例2，已知一数独任何一个井块中恒有362880个字序排列，欲得出一个井块有多少个三条组合，务必求出一个三条组合能繁殖出多少个条序排列，又每个条序排列能繁殖出多少个字序排列来。因此下面分三个层次即三条组合、条序排列和字序排列三个层次予以图解。

设有一个三条组合如下（条序不拘、字序不拘）（见图1-18）。

由以上图解可以看出井块的任一个三条组合可得出6个条序排列，而每个条序排列又可得出216（6×6×6）个字序排列来，故一个三条组合可得出6×（6×6×6）=1296个字序排列来。一井块共有362880个字序排列（见1.3节例2“字序排列总数”），那么362880个字序排列是由多少个三条组合得来的呢？这是一个算术中的简单除法，故：

这说明尽管数独五花八门，井块多达362880个，但最后均可归纳为280个三条组合，任何一个井块都逃不出这280个三条组合范围。作者已经得出这280个三条组合的明细表，读者可参阅本书中的附录一。

例4，模式的216个变种。

模式是指大列的上中下三正交条，每条三字如何在中块内分布开来。模式发生于前后两块间，当前块的上中下三正交条定下来后，再对三正交条选定任一模式并在后块中标示出有关的三个标本来，但在整理后块时允许每个标本的三字沿平行向任意滑移，每一模式可演变出216个变种来，其来由如图1-19所示。

后块每竖条有三字（三成分），三字有=3×2×1=6个字序排列。如果三竖条每条取字序排列，则左中右三竖条的交叉线图如图1-20所示。

因此，216个变种中任一变种都算是模式 [327]。比如：

例5，用避己法求中块的右条。

数独的一种错开方法叫避己法。比如从大列首块的左中两竖条，左条任取一字，中条任取二字，合成三字作为中块的右条，问可有多少方式？

由中块右条三字=首块左条一字+首块中条二字，可知中块右条含两成分：即首块左条一字和首块中条二字。

完成第一成分有3方式，因为首块左条有3字，每取1字有种方式。

完成第二成分也有3方式，因为首块中条有3字，每取2字有种方式。

故同时完成二成分，依a×b×c法则，计有=3×3=9种方式，这9个方式如图1-22所示。

于是得出以下九个中块不同的右条（首块左条取一、中条取二时之中块右条，见图1-23）。

以上所得中块的九个右条是根据首块左条一字加首块中条二字而得，倘若根据首块左条二字加首块中条一字还可得中块的右条九条，共计得图1-24所示的18个中块右条。

仿此，可得出中块的18个左竖条和18个中竖条来，如图1-24所示。这就是附录四中注释*4所得的附图4-13的由来。

例6，理顺的实例

在数独的大列（或大行）中，使平行向上同行异字或同字异行就是错开。凡遇到同小列（小行）有同字的情况便叫作重复，理顺就是要消除重复的问题。理顺有一条总则：横向理顺，靠竖条内易序；竖向理顺，靠横条内易序。易序即是重新排列的意思。

现举一例，设已有一大列，三块每三竖条都沿小列发生重复，试问如何才能理顺？

[解一] 把原大列照抄下来，欲使三块相互错开，并不是把每块九字全部打乱进行九字排列，这是大包围，不如使用小包围，将每横条三字打乱进行三字排列，得图1-25。

各横条的三字排列有=3×2×1=6个。设大列首块之上中下三横条为、、，为保证首块每横条在三块内错开，从首中末三块内取出同成分异字序，比如首块的在首中末三块内分别取、、；首块的654在首中末三块内分别取、、；首块的在首中末三块内分别取、、。结果如图1-26所示。

首中末三块相互错开，即理顺了。此理顺归功于排列组合的有效运用。

[解二] 为了机动地圈选出一个多成分组合的各个字序排列来，作者特设计出一个“滚环法”来。什么是滚环法？

假设你有一个3字组合，想要把它的6个（=3×2×1）排列通通圈选出来，你可将此三字组合连写成3组，每一组配上一个环，每一轮、每环套上一个字，3个环套上3个不同字，待6轮套完即得出6个不同排列来。

连写三组: 321321321

每组各配一环：321321321

每一轮用一环圈上一个字：3②1 32① ③21

如此则得213一个排列。

六轮后乃得出六个排列，如表1-1所示。

这样便把6个排列，一个不漏地圈选出来。

已知大列有三井块，欲竖向理顺，必须对各横条做条内易序即圈选出同小行中的异字来。为此须将原大列照抄下来，并将它横向扩为三倍，得九个井块（见图1-27）。为保证同行异字，圈选时必须圈选九组三同字来，且每组三同字务必圈自：

三个不同的井块，

三个不同的大列，

三个不同的大行。

于是得出三块相互错开的大列来。

滚环法（又名局部圈选清单法），是求排列组合的一种方法，这再一次说明了数独需要排列组合的相关知识。

[解三] 此法根本不用顾及大列中末块排列的存在，先由首块采用避己法或模式法求得中块，再用补差求得末块。以所得出的中、末块取代原有的中、末块（见图1-28）。

解三运用了模块法（即避己法），而避己法的第一步骤则是排列组合的应用，故解三仍是用排列组合进行理顺的。