§2.4 多粒子格林函数与线性响应理论

一、多粒子格林函数与运动方程

与上节中单粒子格林函数的定义相似，可以定义一个多体系统中的双粒子格林函数

这里用1和2作为（r1, ξ1, t1）和（r2, ξ2, t2）的缩写．如把单粒子格林函数G1（1,1＇）理解为在1＇处产生的一个电子（或消灭的一个空穴）传播到1处的概率幅度，则双粒子格林函数G2可以理解为在1＇和2＇处产生的两个电子（或消灭的空穴）分别传播到1和2的概率幅度．G1和G2可以形象地表示如图2.4.1.

任何一个单体或二体算符在基态上的平均值都可以用单粒子格林函数G1和双粒子格林函数G2来表示，例如哈密顿量的平均值．在二次量子化表示下哈密顿量的一般形式为

其中q表示（r, ξ），单粒子哈密顿量包括动能和外势能在基态的平均值即基态能可写为

由场算符的反对易性得关系式

对于无相互作用的系统，从定义可见

对于有相互作用的系统则可写为

其中K是一个修正项，一般比较小，它反映了更复杂的高阶关联作用．

在海森伯表象中，场算符的演化由它的运动方程决定，

其中用到了反对易关系

与（2.4.7）式相对应，单粒子格林函数满足方程

可以用双粒子格林函数G2来表示（2.4.8）式的最后一项，得到

可以很容易看出，如果我们考虑双粒子格林函数G2运动方程，则方程里面还会包含更高阶的多粒子格林函数，如此下去就会得到一系列（无穷多个）互相耦合的方程．求这些方程的严格解是非常困难的，只能取近似解．

如果我们对G2引用上面的公式（2.4.6）并略去K（1,2;1＇,2＇），则可得

再代入（2.4.9）式就把后者化成只包含单粒子格林函数的方程了．这种采用近似处理消去高级多粒子格林函数的办法称为“消耦合”.

由格林函数的定义可知

其中n0表示在（q, t）处基态的电子密度．库仑势在基态的平均值，即哈特里势

它与时间无关．再定义

于是方程（2.4.9）就近似地化成

可以看出Wex就是哈特里-福克近似中的交换势．所以（2.4.14）式与哈特里-福克方程等价，而它的前提条件（2.4.10）式实质上就是哈特里-福克近似．略去K（1,2；1＇,2＇）相当于略去来自更高级图形的贡献．

如果不局限于哈特里-福克近似，就需要把K（1,2;1＇,2＇）包含进来，可以定义一个“自能算符”Σ

于是可以把（2.4.9）式改写为

显然（2.4.16）式左边第二项的最低级近似就是Wex.

如果H不显含时间，即系统是时间平移不变的，则自能Σ是t-t″的函数．所以（2.4.16）式可作傅氏变换，成为

如果Σ与E无关，可以从方程

解得一组正交性归一的波函数φE，并用它们来表示格林函数

它能满足方程（2.4.17）式．由此可见，如果Σ与E无关，则（2.4.17）式的解可以看作是准粒子的波函数，尽管Ei可能是复数．如果系统进一步也具有空间的平移不变性，则VH（q）是常数，可以包括在Ei内，再将Σ作空间的傅氏变换，得到

这是决定准粒子能量的方程．利用自能还可以计算系统基态的能量，由（2.4.3）,（2.4.9）,（2.4.16）三式可得

以上讨论都停留在形式上，并没有给出真正具体计算Σ的办法，即如何解无穷多个耦合方程这一难题．因此除去少数可以做简化假设的情况，运动方程法很少直接用来具体处理问题．在实际科研工作中更常用的是要在下节中介绍的微扰论方法．

二、线性响应理论与久保公式

对各种各样材料性质的研究是凝聚态物理的一个重要方面．在理论研究中需要对各种可观测量进行解释或者预言．在实验研究中通常给样品加上适当的外场或探测信号，来观察观测量的变化．在大多数情况，外场或探测信号的强度很小，不至于影响样品的基本性质，此时观测量随外场或探测信号的强度呈线性的变化，可以采用线性响应理论来进行分析．

设需要观测的物理量为，系统本身的哈密顿量为H，在t0时刻开始有外场或探测信号，相当于在哈密顿量中引入一项Hext．记|ψ（t0）〉为系统在t0时刻的态，在t＞t0时刻的态为|ψ（t）〉=U（t, t0）|ψ（t0）〉，其中演化算符U（t, t0）满足运动方程

如果没有外场或探测信号 Hext=0，则系统在t时刻的态为|ψ0（t）〉=U0（t, t0）|ψ（t0）〉，其中U0（t, t0）的运动方程为

我们关心的是由外场或探测信号引起的物理量观测值的变化，即

利用Hext=0的海森伯表象，可以得到

其中算符满足运动方程，

从方程（2.4.26）出发可以得到

在线性响应理论中只需将L（t）展开到（t）的一次项，于是得到

在零温度系统起始的状态|ψ（t0）〉一般是哈密顿量H的基态|φ0〉, |ψ（t0）〉=|φ0〉.

外场或探测信号通常作用于某一物理量，即其中系数h（t）正比于外场或探测信号的强度．将其代入（2.4.28）式可得

其中推迟相关函数DR（t, t＇）的定义为

可以定义相应的时序相关函数D（t, t＇），

在很多情况下，与是一对共厄算符，由Lehmann表示可得它们的傅氏系数满足关系式

时序相关函数也是多粒子格林函数，在下节中将讲到可以用格林函数的微扰法来计算这些函数．因此在理论工作中可以首先计算时序相关函数D（t, t＇），然后再利用解析关系（2.4.32）式得到推迟相关函数DR（t, t＇）.

材料的许多物理性质都可以用各种相关函数描述，例如泡利顺磁磁化率正比于自旋与自旋的相关函数，极化率正比于电荷密度与电荷密度的相关函数．久保（Kubo）首先得到了电导率和电流密度与电流密度相关函数的关系，即久保公式

其中n0是电子密度是顺磁部分的电流密度．