§1.1 朗道的费米液体理论简介

电子的自旋是1/2，属于费米子，并带有量子化的负电荷-e，其波函数具有反对称性．凝聚态物质中的电子系统是有库仑相互作用的多费米子系统．对比电子系统，3He液体是另一类典型的多费米子系统．每个3He原子的电荷为零，原子之间的相互作用是范德瓦耳斯势，属于短程势，在远距离是弱的吸引势，在近距离是很强的排斥势，与电子之间长程的库仑相互作用差别较大．朗道从分析3He液体的低温性质出发，提出了一个唯象的用来描述多费米子系统的“费米液体理论”[1]，它的出发点是几个基本假设．

费米液体理论的第一个基本假设是：在低温下有相互作用的费米子系统（费米液体）和无相互作用的费米子系统（理想费米气体）具有相同的激发态结构．换句话说，可以想象由无相互作用费米子系统的某个本征态出发，绝热缓慢地引入相互作用，从而得到有相互作用时费米子系统的本征态．因此我们可以用相同的量子数来标记这两个相对应的态．

在零温度时理想费米气体处于基态，在波矢空间填满了半径为费米波矢kF的球．理想费米气体的基态和激发态可以用粒子在波矢及自旋空间的占据情况来标记．对于波矢小于kF的单粒子态，如果它没有被占据，则系统中出现了一个空穴型的单粒子激发；而对于波矢大于kF的单粒子态，如果它被占据，则系统中出现了一个粒子型的单粒子激发．所以理想费米气体的激发态是由多个单粒子激发构成的．

对于有相互作用的费米子系统，由单粒子态的占据情况出发并不能直接构成系统的本征态．因此费米液体理论引入了准粒子的概念，每个准粒子都对应着无相互作用时的一个粒子，它们具有相同的波矢和自旋，准粒子的总数也和真实粒子的数目相同，其中nσ（k）是波矢为k、自旋为σ的准粒子的数目，N为总粒子数，V为体积．系统所处的状态可以由准粒子的占据情况来描述．在费米液体的基态，准粒子在波矢空间填满了半径为kF的球．当某个准粒子的数目变化时，费米液体就出现了单粒子的激发．

但是准粒子毕竟与无相互作用时的粒子不同，费米液体理论的另一个基本假设就是：准粒子之间存在相互作用，并且这种相互作用可以用自洽的平均场来描述，即每个准粒子都受到周围其他准粒子所产生的自洽场的作用．换句话说，每个准粒子的能量与周围其他准粒子的分布状态有关，整个体系的能量E不再是所有准粒子能量的总和，而是准粒子分布函数nσ（k）的泛函，体系的能量变化δE等于由所有准粒子分布变化而引起的能量变化之和，

其中的准粒子能量εσ（k）也可以写成泛函微商的形式

根据费米液体理论的第一个基本假设，费米液体和理想费米气体的激发态是按同样原则构成的．因此费米液体的熵可以由理想费米气体熵的公式来描述，只是现在相关的变量是准粒子的分布函数nσ（k），

其中kB是玻尔兹曼常数．在平衡态，费米液体的自由能F=E-TS是准粒子分布函数nσ（k）的极小值．在保持准粒子总数N不变的条件下，

如果对自由能F求变分并令其为零，便可以得到在平衡态准粒子的分布函数为费米分布函数

其中μ是化学势，即增加一个粒子所引起的自由能的改变，

然而应该注意的是根据（1.1.2）和（1.1.3）所体现的泛函关系，准粒子能量εσ（k）也应是准粒子分布nσ（k）的泛函．所以，实际上（1.1.6）式隐含着一个复杂的泛函关系．

为了较好地分析费米液体低能激发态的物理性质，朗道对能量的变化δE的描述精确到了δn的二级项，即

其中）是处在平衡态时准粒子的能量，函数是能量的二次泛函微商

在相互作用趋于零时，f函数也趋于零，所以它又被称为“相互作用函数”.（1.1.3）式中的准粒子能量εσ（k）也可用它表示，

在费米能级附近，准粒子的能量遵守近似式

其中vF是在费米面上的准粒子速率，m*是准粒子的有效质量．由于相互作用，m*和粒子的质量m存在着差别，这可以通过相互作用函数f来表示．朗道认为，在低温下如果费米液体流动，则准粒子和真实粒子具有相同的动量密度和粒子数目通量，从而可以得到关系式

利用变分后可得

考虑对费米面附近的波矢有，最后可以得到准粒子和真实粒子质量之间的关系式，

上式中“F.S.”表示在费米面上对立体角的积分，f（cosθ）表示对的自旋角标分别求和，k和k＇都被限制在费米面上，k和k＇之间的夹角为θ.

相互作用函数与自旋变量的关系可一般表示为直接部分fd和交换部分fx，即

费米液体的许多物性都是通过准粒子的分布函数来表现，可以用相互作用函数来表示：

（i）比热

其中N（E）是态密度

用有效质量表示则为

（ii）压缩率κ和声速vs都可用∂μ/∂N表示，

而

（iii）自旋磁化率χ表示为

对于非平衡态，当外界扰动在时空的变化相对缓慢时，即变化的特征长度远大于费米面上粒子的德布罗意波长1/kF时，准粒子的运动和经典粒子的运动相似，朗道假设准粒子分布函数满足玻尔兹曼方程，

其中I（n）代表碰撞项，反映了由相互作用造成的准粒子的产生或湮没．在低温下准粒子的寿命较长，如果考虑周期相对较短的物理过程，通常碰撞项可以被忽略．利用玻尔兹曼方程以及准粒子的能量与分布函数的关系（1.1.10）式，可以得到费米液体的粒子密度涨落有平面波形式的解δn（k, r）∝δ（k-k F）exp[i（k · r-ω kt）].由于色散关系是线性的，这种激发模式称为零声．如果相互作用较弱并且是各项同性的，零声速度约为费米速度vF．零声等这一类型的激发需要系统中多个粒子的参与，所以称为集体激发，属于玻色型的激发．零声是由相互作用引起的，为费米液体所独具，在理想费米气体中不存在．在经典的气体中也存在着声波，称为第一声．第一声和零声的主要区别在于，第一声的周期比准粒子的寿命长，因而可以用经典的流体力学来处理，这个区域被称为流体力学区域；而零声的周期较短，相比较准粒子的寿命可以近似看作无穷大，碰撞项可以被忽略，所以这个区域被称为无碰撞区域．在§2.8将讲到在电子系统中由于相互作用是有长程性的库仑相互作用，电子密度涨落的本征激发模式是等离体子而不是零声，它们的主要区别在于等离体子的频率在长波极限下不为零．

朗道的费米液体理论是一种唯象理论，是针对电中性的3He系统提出的．事实证明费米液体理论也同样适用于许多其他的多费米子系统，包括金属中的多电子系统等．针对多电子系统，Silin等对费米液体理论进行了特别的推广[2]．费米液体理论的基础是建立在有相互作用系统和无相互作用系统的相似性上，在实际的系统中这种相似性往往存在．但是相互作用也可能导致系统在低温下发生相变，系统的激发态结构会发生改变，与无相互作用系统的基态和激发态性质有本质的差别，此时费米液体理论就不再适用．在后面的章节中将遇到多个费米液体理论成功以及不成功的例子．