平面图形一笔画

在普鲁士东部，濒临波罗的海有一座古老而美丽的城市叫作哥尼斯堡。昔日此为一座重要的工业城市，为东普鲁士的首府，并有一所历史悠久的大学。哥尼斯堡被新河、旧河及布勒格尔河贯穿全城，并将全城分成了4部分。于是人们建造了7座桥，以把哥尼斯堡连成一体（如图2-2所示）。

图2-2

每天城里的居民来往这7座桥，熙熙攘攘。望着淙淙流水，这里传出了一个有趣的问题：是否能够一次走遍所有这7座桥，而且每座桥只能走一次？

这个问题似乎不难，谁都乐意去试一下，只是日子一天天过去，也没有人做得到。随着此问题的传播，哥尼斯堡也因此出名。

1727年，欧拉受聘到俄国圣彼得堡科学院工作后，便听到了上述这个故事。他并不曾到过哥尼斯堡，但在听到这个问题后只花了几天的时间，便解决了此“七桥问题”。他首先将七桥问题转化为一数学模型。他看出两岸陆地及河中的岛都不过是桥的连接点，其大小及形状与问题无关，因此可将它们视为4个点。至于7座桥是7条必经的路线，它们的长短曲直也与问题本身无关，因此可以用任意7条曲线来表示。他先想到如图2-3所示的简化图，然后得到如图2-4所示的数学模型。

图2-3

图2-4

如此，欧拉将七桥问题抽象成一个一笔画问题，即图2-4中的图形能否用一笔画出。接着欧拉发现，凡是能用一笔画出的图形，每当你用笔画一条线（可以是曲线）进入其中的一个点（除了起点与终点）时，你还必须画一条线离开此点，否则图形便不能以一笔画出。也就是说，除了起点与终点，图中每一个点都应与偶数条线相连（这种点称为偶点，反之称为奇点）。若起点与终点重合，则此重合点也应与偶数条线相连（故此点亦为偶点）；若起点与终点不重合，则此两点皆与奇数条线相连（故皆为奇点）。因此，可以一笔画出的图形，其奇点数必为0或2。

现在图2-4中，共有A,B,C,D 4个点，其中A,B,C分别与3条线相连， D与5条线相连。由于4点均为奇点，因此一笔画出此图形是不可能的，也就是想不重复地通过哥尼斯堡的7座桥是不可能的。

我们看到欧拉将一实际问题抽象化，虽然看不到河也看不到桥，但结果不但解决了原来的问题，连更一般的问题也一并解决了。

补充一点，上面这个答案尚不完整，这里还有一个从哪里开始画的问题。从上面的介绍中可以得到，凡奇点数为2的一笔画，图形必须以一个奇点作为起点，另一个奇点作为终点。