小结

就像长度一样，概率也是可以测量的。我们将事情划分成等可能情况，计数这些情况发生的次数，再除以可能情况的总数，即可计算出概率。这个定义满足以下条件：

1. 概率是一个0到1之间的数。

2. 如果A不可能发生，则P(A)=0。如果A在所有情况下都会发生，则P(A)=1。

3. 如果A和B不可能在同一种情况下发生，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。

4. 在A发生条件下B的发生概率等于B与A同时发生的情况数量除以A发生的情况数量，即P(A∩B)=P(A)P(B|A)。如果A和B相互独立，即P(B|A)等于P(B)，则P(A∩B)=P(A)P(B)。

在发现并统计可能情况数量的过程中，人们遇到了一些数学问题，比如复杂赌局的获胜概率、生日问题等。

期望值可以根据各种结果出现的概率来衡量它们的成本与收益情况，这不仅有助于计算，还是公平性和价值的衡量方法。

大数定律（我们将在第4堂课和第6堂课继续讨论）表明，在多次独立尝试中，我们可以通过频率求出次数的近似值（高概率）。

本堂课的内容一共有三个附录，分别介绍了帕斯卡和费马的通信往来，抛硬币的物理学发展历程，以及深入分析概率数学与现实世界中发生的偶然事件之间的联系。（本书最后单列出一个附录，以满足读者复习相关知识的需要。）