1.6　多元正态分布

正如我们在1.3小节里提及的，多元统计分析属于推论统计的一部分，也需要通过样本统计量的分布来估计、推测总体参数并进行假设检验。因此在本书中，定义多元变量为随机变量，它们具有随机变量的一切性质，并且不同特点的多元变量有着不同的分布规律，例如多元正态分布、多元t分布、多元Gamma分布等；其中应用最广泛、最重要的分布是多元正态分布，它是众多多元分布的基础。本书后面用到的很多检验统计量，它们的分布都与多元正态分布有关。

先回忆一元正态分布的定义，如果连续型随机变量X的概率密度函数为

则称X服从期望为μ、方差为σ2的正态分布，一般记为X～N（μ，σ2）。

正态分布是一族分布（图1.5），其概率密度函数的曲线随着期望与方差的不同而不同。如果将随机变量X标准化为变量Z，则变量Z服从期望为0，标准差为1的标准正态分布，记为Z～N（0，1）。

图1.5　期望与方差不同的正态分布

如果有两个连续型随机变量X和Y服从二元正态分布，它们的联合概率密度函数为

式中

μX与μY分别表示变量X和Y的期望值，σX与σY分别表示变量X和Y的标准差，ρXY表示变量X和Y的相关系数。

图1.6（a）为变量X和Y的相关系数设为0.5条件下，联合概率密度函数z=f（x,y）的三维图。图1.6（b）为图1.6（a）的俯视图，每个椭圆曲线上的概率密度相等。当变量X和Y相互独立（相关系数为0）时，等概率密度曲线为正圆曲线；当变量X和Y完全相关（相关系数为1）时，等概率密度曲线退化为一条直线（图1.6（b）中的虚线）。二元正态分布是二元联合概率分布中最重要的分布。

图1.6　二元正态分布

如果p维随机变量X=（X1，X2，……，Xp）T服从p元正态分布，则联合概率密度函数为

一般记为Np（μ，Σ），其中μ=（μ1，μ2，……，μp）T为p个变量的期望值向量，Σ表示p个随机变量的协方差矩阵，且是p×p阶正定对称矩阵，Σ-1，｜Σ｜分别为Σ的逆矩阵与行列式值。

根据上面定义的多元正态分布密度函数，在一定的条件下我们可以求出各个部分变量的边缘分布、多元变量的样本平均值分布或者样本协方差的分布等。

在许多关于多元统计分析的经典书籍里，上述的内容往往置于书本的第1章，因为这些知识是推导多元统计方法的基础。但考虑到本书的使用对象主要是心理学、教育学等社会科学领域的学生或工作者，学习目的主要是为了正确应用多元统计方法。我们认为掌握了最基本的概念之后直接学习分析方法是可行的，相关的概率与统计理论知识可以在达到更高水平以后再继续领会。因此本书中有关多元分布的知识不再展开，有需要的读者可以参考相关的书籍（Anderson，2003）。