第2章 一维势场中的粒子
2.1 复习笔记
一、一维势场中粒子能量本征态的一般性质
（1）
此即一维粒子的能量本征方程．以下定理1到4，不仅对一维问题成立，对于三维问题也同样适用．
1．定理l 设φ（x）是方程（1）的一个解，对应的能量本征值为E，则φ*（x）也是方程（3）的一个解，对应的能量也是E．
2．定理2 对应于能量的某个本征值E，总可以找到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加．
3．定理3 设V（x）具有空间反射不变性，V（-x）=v（x）．如φ（x）是方程（1）的对应于能量本征值E的解，则φ（-x）也是方程（1）的对应于能量E的解．
（1）空间反射算符P
空间反射算符P定义为
（2）偶宇称与奇宇称
如果对应于某能量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称（parity）
对于上式中C=+1的解
称为偶字称（even parity）解．
对于C=-1的解
称为奇宇称（odd parity）解．
4．定理4 设V（-x）=V（x），则对应于任何一个能量本征值E，总可以找到方程（3）的一组解（每一个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解，都可用它们来展开．
5．定理5 对于阶梯形方位势
（V2—V1）有限，则能量本征函数φ（x）及其导数φ'（x）必定是连续的（但如
7．定理7 设粒子在规则（regular）势场V（x）（V（x）无奇点）中运动．如存在束缚态，则必定是不简并的．
二、方势
1．无限深方势阱，离散谱
（1）无限深方势阱本征能量
该本征能量表达式说明说明：并非任何E值所相应的波函数都满足本问题所要求的边条件，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的（disorete）．
（2）无限深方势阱本证波函数
归一化波函数表示为
2．有限深对称方势阱
设
a为阱宽，V0为势阱高度．以下讨论束缚态（0＜E＜V0）情况．
束缚态能量本征函数（不简并）必具有确定宇称，因此只能取sinkx或coskx形式．
（1）偶宇称态．
引进无量纲参数
有
（2）奇宇称态．
同（1）可得
只当
时，才可能出现最低的奇宇称能级．
3．束缚态与离散谱
只当粒子能量取某些离散值E1，E2，E3，…时，相应的渡函数φ1（x），φ2（x），φ3（x），…才满足束缚态边条件：|x|→∞处，φ（x）→0．这些能量值即能量本征值，相应波函数即能量本征函数．
4．方势垒的反射与透射
设具有一定能量E的粒子沿x轴正方向射向方势垒（图2-1）
图2-1 一维方势（V0＞0）
（a）方势垒的反射与透射．E＜V0
（b）方势垒的反射与透射，E＞V0，
（c）方势阱的反射，透射与其振，E＞0
（1）E＜V0时的情况
透射系数为
反射系数为
（2）E＞V0时的情况
透射系数为
5．方势阱的反射、透射与共振
方势阱对应的透射系数为
（3）
由式（3）可以看出，如
，则一般说来T值很小，除非入射粒子能量E合适，使sink'a=0，此时，T=1（反射系数|R|2=0），这现象称为共振透射．它出现的条件是：
共振时的能量
（4）
式（4）所确定的E，称为共振（resonance）能级．
三、δ势
1．δ势的穿透
设质量为m的粒子（能量E＞0）从左入射，碰到δ势垒（图2-2）
图2-2
（3）式称为δ势中φ'的跃变条件．
2．势阱中的束缚态
要求束缚能量本征态（不简并）具有确定字称．以下分别讨论．
（1）偶宇称态
归一化的束缚能量本征态波函数可表示为（取C为实数）
（2）奇宇称态
波函数应表示为：
3．δ势波函数微商的跃变条件
δ势波函数微商的跃变条件如下：
四、一维谐振子
1．一维谐振子本征能量
此即谐振子的能量本征值．可以看出，谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级的间距为
．
2．一维谐振子本征波函数
一维谐振子波函数常用的关系式如下
其中
。