第三节　行程问题

一、考点精讲

（一）初等行程问题

初等行程问题是研究一个物体的运动，即研究单个物体的速度、时间、路程三者之间的关系。

1．行程问题基本公式及其推论

（1）基本公式

路程＝速度×时间。

（2）推论

①时间相同时，路程与速度成正比；

②速度相同时，路程与时间成正比；

③路程相同时，速度与时间成反比。

2．题目设置

（1）路程：单向直路、往返路、上坡路、下坡路、环型路、“回头”路、速度不同的一段路、队伍（火车）过桥（隧道）、动物爬树（井）等。

（2）时间：具体时刻、时间提前、时间延后、休息时间等。

（3）速度：平均速度、速度变大、速度变小等。

（二）相遇问题

1．题型简介

相遇问题是行程问题的典型应用题，研究“相向运动”的问题，反映的是两个量或者多个物体所走的路程、速度和时间的关系。其核心就是速度和。通常是已知速度、路程等变量，求相遇时间或者已知时间，速度，求路程等这类题型。

2．基本公式

速度和×相遇时间＝相遇路程

相遇路程÷相遇时间＝速度和

相遇路程÷速度和＝相遇时间

3．题目设置

（1）直线相遇问题

当相遇问题发生在直线路程上时，甲的路程＋乙的路程＝总路程；

（2）环线相遇问题

当相遇问题发生在环形路程上时，甲的路程＋乙的路程＝环形周长。

4．解题方法

（1）解答相遇问题时，一般需要借助于列方程法进行求解。

（2）对于复杂的相遇问题，正确画出行程图、找准突破口往往是解题的关键。

（3）单个的往返问题，一般以时间关系为突破口；

（4）往返问题，一般以路程为突破口。

【例】甲车从A地，乙车和丙车从B地同时出发，相向而行。已知甲车每小时行65公里，乙车每小时行73公里，丙车每小时行55公里。甲车和乙车相遇后，经过15小时又与丙车相遇，那么A、B两地相距（　　）公里。

A．10100

B．13800

C．10600

D．14800

【答案】B

【解析】由题意可知，设从出发到甲乙相遇经过了t小时，得65×15＋55×15＋55t＝73t，得t＝100；A、B两地的距离应为：65×100＋73×100＝13800公里。

（三）追及问题

1．题型简介

追及问题是行程问题的常考典型应用题，是研究“同向运动”的问题，追及问题反映的是两个量或者多个量所走的路程、速度和时间的关系。核心就是速度差。

2．基本公式

追及时间＝路程差÷速度差

路程差＝追及时间×速度差

速度差＝路程差÷追击时间

3．题目设置

（1）当追及问题发生在直线路程上时：路程差＝追者路程一被追者路程＝速度差×追及时间；

（2）当发生在环形路程上时：快的路程－慢的路程＝曲线的周长。

【例】甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑的快的人第一次追上另一人时跑了多少米？（　　）

A．600

B．800

C．1000

D．1200

【答案】C

【解析】由“第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程”可知，两个人分别跑了250米和150米，两人相差250－150＝100米，若如两人同时从同一点出发同向而行，跑的快的人第一次追上另一人时定多跑了400米，而速度未变，则此时跑得快的人跑了400÷100×250＝1000米。

（四）行船问题

1．题型简介

行船问题是行程问题的一种，有基本行船问题和变形行船问题（扶梯问题）两种类型。在行政职业能力测验考试中，解决行船问题的关键是确定“船”的运动速度。一般情况下可采用列方程法求解。

2．基本行船问题

（1）基本公式

①顺水速度＝船速＋水速

②逆水速度＝船速－水速

（2）推论

由上述两个公式进行相加相减得以下两公式：

③船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2

④水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

3．变形行船问题——扶梯问题

（1）沿电梯运动

能看到的电梯级数＝人实际走过的级数＋电梯本身移动的级数；

由于人实际走过的时间与电梯本身移动的时间相等，则上式变形为：

能看到的电梯级数＝顺行速度×沿电梯运动方向运动所需时间＝（人速＋电梯速度）×沿电梯运动方向运动所需时间；

（2）逆电梯运动

能看到的电梯级数＝人实际走过的级数－电梯本身走过的级数；

由于人实际走过的时间与电梯本身移动的时间相等，则上式变形为：

能看到的电梯级数＝逆行速度×逆电梯运动方向运动所需时间＝（人速－电梯速度）×逆电梯运动方向运动所需时间。

【例1】小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把空塑料水壶掉进江中，当他们发现并调过头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？（　　）

A．0.2小时

B．O.3小时

C．0.4小时

D．0.5小时

【答案】D

【解析】根据题意，小船调转船头追水壶时为顺流，小船的顺流速度是4＋2＝6千米/时；此时水壶与船已经相距2千米，即追及路程是2千米，水壶的速度即为水流速度，则追及时间为＝0.5小时。

【例2】一条执行考察任务的科考船，现从B地沿河驶入海口，已知B地距入海口60千米，水速为每小时6千米，若船顺流而下，则用4小时可以到达入海口，该船完成任务从入海口返回并按原速度航行4小时后，由于海水涨潮，水流方向发生变化，水速变为每小时3千米，则该船到达B地还需再航行（　　）小时。

A．5

B．4

C．3

D．2

【答案】B

【解析】从B地到入海口总路程为60千米，水速为6千米/小时。因为船顺流而下到达入海口用时4小时，所以船速为60÷4－6＝9千米/小时。从入海口返回，逆流航行4小时，该船行驶的路程为（9－6）×4＝12千米。此时水流方向发生变化，逆流改为顺流，且水速变为3千米/小时，则剩余路程用时（60－12）÷（9＋3）＝4小时。

（五）其他行程问题

1．封闭路线（环形）中的行程问题

（1）一般运动的两者处于同一起点，当两者异向运动时，可以看做相遇问题，等价于两者一起运动完一周，则环形周长＝（速度1＋速度2）×异向运动的两人两次相遇的间隔时间，S＝（v₁＋v₂）×t；

（2）同向运动时，可以当做追及问题，等价于速度大的一方要比速度小的一方多运动一周长，则环形周长＝（速度1－速度2）×同向运动的两人两次相遇的间隔时间，即S＝（v₁－v₂）×t。

【例】每条长200米的三个圆形跑道相交于A点，张三、李四、王五三个队员从三个跑道的交点A处同时出发，各取一条跑道练习长跑。张三每小时跑5公里，李四每小时跑7公里，王五每小时跑9公里。问三人第四次在A处相遇时，他们跑了多长时间？（　　）

A．40分钟

B．48分钟

C．56分钟

D．64分钟

【答案】B

【解析】三人每跑一圈的时间分别是＝，＝，＝分钟，那么每过一个12分钟则他们三人都恰好在A点，所以第四次相遇A点是48分钟。

2．等距离平均速度问题

等距离平均速度问题是指路程相等，速度不同，最后求的是两段路程的平均速度的问题。通常情况下，题目给出的已知条件是两段相等路程的不同速度，等距离平均速度应用公式为：

等距离平均速度（其中，分别为往返速度）。

【例】一条环形赛道前半段为上坡，后半段为下坡，上坡和下坡的长度相等，两辆车同时从赛道起点出发同向行驶，其中A车上下坡时速相等，而B车上坡时速比A车慢20％，下坡时速比A车快20％。问在A车跑到第几圈时，两车再次齐头并进？（　　）

A．22

B．23

C．24

D．25

【答案】D

【解析】设A车速度为ν，则B车上坡速度为0.8ν、下坡速度为1.2ν，由等距离平均速度公式可知，B车完成一圈的平均速度为＝＝O.96ν，则A车与B车的速度之比为25:24，即A车完成25圈时，两车同时回到起点。

3．沿途数车问题

沿途数车问题公式：发车时间间隔，（每隔t₁分钟就遇到迎面开来的一辆公车，每隔t₂分钟就有一辆公车从后面超过该人）。

【例】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?（　　）

A．20

B．24

C．25

D．30

【答案】B

【解析】假设小明在路上向前行走了60（20、30的最小公倍数）分钟后，立即回头再走60分钟，回到原地。则在前60分钟他迎面遇到60÷20＝3辆车，后60分钟有60÷30＝2辆车追上他。则在两个60分钟里他共遇到朝同一方向开来的5辆车，则发车的时间间隔为60×2÷（3＋2）＝24。

4．间歇型行程问题

先考虑没有休息时的运动情况，然后考虑休息间隔所带来的影响。

【例】公路上有三辆同向行驶的汽车，其中甲车的时速为63公里，乙、丙两车的时速均为60公里，但由于水箱故障，丙车每连续行驶30分钟后必须停车2分钟。早上10点，三车到达同一位置，问1小时后，甲、丙两车最多相距多少公里？（　　）

A．5

B．7

C．9

D．11

【答案】B

【解析】甲车的时速为63公里，即甲1小时行驶了63公里，丙车最多需要停车4分钟，即行驶了56分钟，则丙车行驶路程为×60＝56公里，则甲、丙两车最多相距63－56＝7公里。