第四节　比例问题

一、考点精讲

（一）题型概述

1．考点

比例问题是行政职业能力测验必考题型，也是数学运算中最重要的题型，主要涉及工程问题和浓度问题。

2．解题关键

解决比例问题，关键要从两点入手：

（1）和谁比。

（2）增加或下降多少。

3．解题方法

（1）设1法。

（2）方程法。

（二）工程问题

工程问题是将一般的工作问题分数化，即从分数的角度研究工作总量、工作时间、工作效率三者之间关系的问题。核心公式为工作总量＝工作效率×工作时间。在工程问题中，工作总量一般不需要具体的值，通常设为1，根据公式，由工作时间表示出工作效率。在计算过程中，在工作总量不变的条件下，保证工作效率与工作时间成反比。

1．多人合作型问题

此类问题，一般表达为一个人需多少天完成，另一人或几人需多长时间完成，问一起合作需多久完成。计算这类问题时，首先要计算清楚合作后的工作效率，根据工作总量就可以算出工作时间了。

【例】甲乙两个工程队修一条公路，甲工程队修了500米以后，乙工程队来修，以往资料显示，乙工程队的效率是甲工程队的2倍，乙工程队修600米公路所用的时间比甲工程队修500米公路时间还少20天，甲工程队效率是（　　）米/天。

A．25

B．15

C．20

D．10

【答案】D

【解析】甲乙的工作时间是2:1，乙工程队修500米的时间和修600米的时间比是5:6，联立则有甲修500米时间和乙修600米的时间是10:6＝5:3；由于差值是20天，则甲修500米的时间是5×20/2＝10天，则其效率是500÷50＝10。

2．效率变动型问题

效率变动问题指的是当工作效率提高或者降低的时候，解决工作时间变化情况的问题。工作效率可以是提高的，也可能是降低的，要依据试题来分析。在计算此类问题时，要理清工作效率变动情况，恰当使用已完成工作量和工作总量的关系来解题。

【例】某行政村计划15天完成春播任务1500亩，播种5天后，由于更新机械，工作效率提高25％，问这个行政村会提前几天完成这1500亩的春播计划？

A．4

B．3

C．2

D．1

【答案】C

【解析】根据题意，由于工作效率提高了25％，前后工作效率之比为4:5，则在工作总量相同的情况，工作时间之比为5:4，在播种5天之后，按照原来的效率，还需要播种15－5＝10天，提高效率之后，则只需要8天，即提前了10－8＝2天。

3．工作休息问题

工作休息问题，是指在多人合作的时候，有部分中途退出，例如甲乙要完成一项工作，刚开始的时候甲乙合作，但是中间某一天，乙有事情，不参加工作了，最后求乙或者甲工作了多少天？

【例】某项工程，小王单独做需15天完成，小张单独做需10天完成。现在两人合做，但中间小王休息了5天，小张也休息了若干天，最后该工程用11天完成。则小张休息的天数是（　　）。

A．6

B．2

C．3

D．5

【答案】D

【解析】假设工作总量为15、10的最小公倍数，即30。根据题意，小王每天的工作量为30/15＝2，小张每天的工作量为30/10＝3，则在两人合作期间，小王的工作量为2×（11－5）＝12，小张的工作量为30－12＝18，所以小张工作了18/3＝6天，则休息了11－6＝5天。

4．水管注水问题

（1）只进不出型，指的是在注水的时候，只需要考虑进水管，排水管是关闭的，这就和工程问题是相同的，只是表述不同。

【例】某水池装有甲、乙、丙三根管，单独开放甲管12分钟可注满全池，单独开乙管15分钟可注满全池，单独开丙管20分钟可注满全池，如果三管齐开，几分钟可注满水池？

A．6

B．8

C．5

D．4

【答案】C

【解析】根据题意，由于单开甲用12分钟，单开乙用15分钟，单开丙用20分钟，设总量为12、15、20的最小公倍数，即60。则甲管每分钟进水量为5，乙管每分钟排水量为4，丙管每分钟进水量为3，三管齐开每分钟进水量为5＋4＋3＝12。则放满水需要60/12＝5分钟。

（2）有进有出型，指的是在注水的时候，不仅要考虑进水管，还要考虑排水管，是工程问题的变形，即排水管是把进水管的效率降低的水管。

【例】一个浴缸要放满水需要30分钟，排光一浴缸水需要50分钟，假如忘记关上出水口，将这个浴缸放满水需要多少分钟？（　　）

A．65

B．75

C．85

D．95

【答案】B

【解析】根据题意，注满水需要30分钟，排完需要50分钟，假设浴缸的水量为30、50的最小公倍数，即150，则每分钟放水的量为5，每分钟排水的量为3，每分钟净进水的量为5－3＝2，则放满水需要150/2＝75分钟。

（二）浓度问题

浓度问题主要考查浓度、溶质、溶液三个量的相互转化关系，特别是各个量的变化对浓度的影响。只增加溶质或减少溶剂，溶液的溶度都会增大；如果题中表明的是溶液在增大，则要注意题目中的不变量及相等量，以此求解。溶度问题的核心公式为浓度＝溶质÷溶液，溶液＝溶质＋溶剂。

1．溶质不变、溶液变化

（1）题型简述

一般包括两个方面，稀释（加入溶剂）和蒸发（减少溶剂）。为了更好的说明解题的技巧，把浓度发生一次变化的试题，称为单次稀释或者蒸发；浓度多次变化的称为多次稀释或者蒸发。

（2）解题技巧

在解题时，把握住问题的本质——溶质质量不变。具体的解题技巧有：

①对于单次稀释或者蒸发试题，采用基础公式——浓度＝溶质/溶液求解即可。

②对于单次稀释或者蒸发试题，采用方程法解答，其等量关系，就是溶液变化前后的溶质质量不变。这种方法在本质上和公式法相同。

③对于多次稀释或者蒸发问题，采用特殊值法解答，在设置特殊值的时候，可以有两种情况，一是将溶液质量设为特殊值，这个特殊值一般设为整百的数值；二是，将溶质质量设为特殊值，这个特殊值是各个浓度值的最小公倍数。

【例】一种溶液，蒸发一定水后，浓度为10％；再蒸发同样的水，浓度为12％；第三次蒸发同样多的水后，浓度变为多少？（　　）

A．14％

B．17％

C．16％

D．15％

【答案】D

【解析】设其溶质为60，则可知其浓度在10％时，溶液量为600，其浓度在12％时，溶液量为500，在变化过程中蒸发掉了水为100，则第三次蒸发同样多的水后，溶液还剩400，即其浓度为15％。

2．溶质变化、溶液不变

把一个瓶子里面的溶液倒掉一部分，再加入一些其他物质，加入的物质，可以是溶剂，可以是溶质，也可以是溶液，让加入的量填满瓶子，溶液的质量不会变化，但是溶质的质量肯定会变化。

（1）每次倒出去的比重不同

由于溶液质量是一定的，在解题时，可以采用特殊值法来解答，特殊值在设置的时候，设置溶液的质量，因为溶液的质量不会变化。

【例】一满杯纯牛奶，喝去20％后用水加满，再喝去60％。此时杯中的纯牛奶占杯子容积的百分数为（　　）。

A．52％

B．48％

C．42％

D．32％

【答案】D

【解析】根据题意，由于添加的是水，形成的溶液是混合均匀溶液，则喝掉的溶液的比例，是喝掉的溶质的比例。由题意可知，剩下的纯牛奶的比例为（1－20％）（1－60％）＝80％×40％＝32％。

（2）每次倒出去的比重相同

如果满瓶溶液的浓度为C，第一次倒出1/n，加满水（溶剂）；第二次倒出1/n，加满水（溶剂）；如此反复m次，则最终得到的溶液的浓度P为：P＝C×（1－1/n）m。

【例】从装有100克浓度为10％的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水，这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为（　　）。

A．7％

B．7.12％

C．7.22％

D．7.29％

【答案】D

【解析】由于每次倒出去之后，都向瓶子里面加入水（溶剂），溶液质量保持不变，一共有100g，每次倒出去10g，即倒出去10/100＝1/10，操作三次，则瓶子中的浓度为10％×（1－1/10）³＝10％×（9/10）³，能被9整除，因此答案选D。

3．溶质变化、溶液变化

把两种或者两种以上的溶液混合在一块，溶质质量、溶液质量发生变化。在解答溶质变化、溶液变化问题的试题，可以采用以下技巧来解答：

（1）当两种或者两种以上溶液同时混合的时候，由于给出的是浓度、质量，数据之间的关系比较复杂，可以采用列方程法来分析。

【例】取甲种硫酸300克和乙种硫酸250克，再加水200克，可混合成浓度为50％的硫酸；而取甲种硫酸200克和乙种硫酸150克，再加上纯硫酸200克，可混合成浓度为80％的硫酸。那么，甲、乙两种硫酸的浓度各是多少？（　　）

A．75％，60％

B．68％，63％

C．71％，73％

D．59％，65％

【答案】A

【解析】根据题意，假设甲硫酸浓度为x，乙硫酸浓度为y，则有（300x＋250y）/（300＋250＋200）＝50％；（200x＋150y＋200）/（200＋150＋200）＝80％；得x＝75％，y＝60％。

（2）当试题给出的是溶质、溶剂的比例时，可以采用特殊值法来解答。

【例】三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，酒精与水的比分别是2:1，3:1，4:1。当把三瓶酒精溶液混和后，酒精与水的比是多少？（　　）

A．133:47

B．131:49

C．33:12

D．3:1

【答案】A

【解析】由于第一个瓶子的体积比是2:1，则瓶子体积能被2＋1＝3整除，同理可知，体积能被4、5整除，假设瓶子体积为3、4、5的最小公倍数60。则第一个瓶子里的酒精是60×2/3＝40，水是60－40＝20；第二个瓶子里面的酒精是60×3/4＝45，水是60－45＝15；第三个瓶子里面的酒精是60×4/5＝48，水是60－48＝12；当三个瓶子的溶液混合后，酒精的含量是40＋45＋48＝120＋13＝133，水的含量是20＋15＋12＝47，两者的比例就是133:47。