3.2　课后习题详解

一、概念题

1．资本—劳动比率（capital labor ratio）

答：资本—劳动比率又称为人均资本或资本装备率，指每个工人使用的可获得的资本的数量。资本—劳动比率的变化路径在技术层面也反映了资本深化的进程及其速度，是厂商对生产技术（投资）的选择结果。

2．资本存量的黄金法则（golden－rule capital stock）

答：经济增长是一个长期的动态过程，提高一个国家的人均消费水平是一个国家经济发展的根本目的。在此前提下，经济学家费尔普斯于1961年提出了黄金分割律：

稳态消费等于稳态收入减去稳态投资，即：

如图3－7所示，在资本边际产出的增加恰好足以满足所需投资的增长时，稳态消费达到最大化，即，即当资本存量处在黄金法则水平上时，资本的边际产出等于折旧率加上人口增长率。从黄金分割律可知，当稳态的人均资本量高于黄金分割律水平时，可以通过增加消费使人均资本量下降到黄金分割律水平；当稳态的人均资本量低于黄金分割律水平时，可以减少消费，提高资本存量，直到人均资本达到黄金分割律水平。

图3－7  经济增长的黄金分割律

3．劳动的边际产出（marginal product of labor，MPL）

答：劳动的边际产出指在其他要素投入保持不变的情况下，增加一单位劳动所获得的产品的增量。劳动的边际产出用公式可以表示为，当劳动的增加量非常小时，。劳动的边际产出曲线的变化趋势是倒U型的，这就意味着当边际产出为零时总产出达到最大值。在图形上，总产出曲线上各点切线的斜率值，就是各劳动投入量上边际产出的数值。一个企业主在考虑再雇佣一名工人时，在劳动的平均产出和边际产出中他更关心劳动的边际产出。

4．柯布－道格拉斯生产函数（Cobb Douglas Production Function）

答：柯布－道格拉斯生产函数是由美国的数学家柯布和经济学家道格拉斯提出来的生产函数。该生产函数的一般形式为：，式中，代表产量，和分别代表劳动和资本，、和为三个参数，且。

柯布－道格拉斯生产函数中的参数和β的经济含义是：和分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，为劳动所得在总产量中所占的份额，为资本所得在总产量中所占的份额。

另外，如果，则生产为规模报酬不变的；如果，生产为规模报酬递减；，则生产为规模报酬递增。

5．增长核算（growth accounting）

答：增长核算是经济学中解释经济增长的一套理论，该理论主要是对经济增长源泉进行衡量。一国经济中的国民总收入可以用多种要素建模来解释。在一个简单的模型中主要是资本、劳动力和技术。这里，国民总收入的增长由资本的增长、劳动力的增长以及所采用的技术的提升来解释。国民收入水平、资本存量和劳动力的大小可以通过经济统计来估算。这样数理模型就可以由劳动力、资本和一个余值来解释国民收入水平。这个余值被称为“全要素生产率”，用来解释没有被资本和劳动投入水平变化所解释的部分。这个全要素生产率通常被用来衡量所采用的技术的水平，有时也称为“索洛余值”。

6．新古典增长理论（neoclassical growth theory）

答：新古典增长理论指以美国经济学家索洛为代表提出的经济增长理论。该理论讨论了资本增长率、劳动力增长率以及储蓄倾向变动对经济增长的影响。新古典经济增长模型认为，假定不存在技术进步（），劳动增长率与人口增长率一致且保持不变（），要使人均收入不变，就必须保持人均资本量不变。这也就是说，在人口增长条件下，维持人均收入不下降，资本增长率等于人口增长率，便达到了经济的稳定状态。

新古典经济增长模型包括四个基本假设条件：①全社会只有一种产品；②劳动与资本可以相互替代，即资本—产出比可以变动；③资本或劳动的边际生产力递减，但规模报酬不变；④完全竞争市场，工资率和利润率分别等于劳动与资本的边际生产力。

7．消费（consumption）

答：消费在宏观经济学中是指某时期一人或一国用于消费品的总支出。严格地说，“消费”应仅指这一时期中那些完全用掉了的消费品。但在实际上，消费支出包括所有已购买的商品，而这其中许多商品的使用时间要远远超出考察时期，如家具、衣物和汽车等。

8．趋同（convergence）

答：趋同指如果两个国家人口增长率、储蓄率和生产函数相同，则它们最终将达到相同的收入水平的一种现象。新古典增长理论预言，具有相同的储蓄率、相同的人口增长率并得到相同的技术的经济将出现绝对的趋同。进而，如果国与国之间储蓄率不同，它们在稳态中将达到不同的收入水平，但如果它们的技术进步率和人口增长率相同，它们的稳态增长率也将相同。

9．增长核算方程（growth accounting equation）

答：增长核算方程用生产函数说明技术进步与经济增长的关系，描述了在规模收益不变 的情况下，技术、劳动和资本对于产出的贡献情况。已知生产函数为，对其两边取自然对数，全微分后得：，即产出增长＝（劳动份额×劳动增长）＋（资本份额×资本增长）＋技术进步。这里，分别是劳动收益和资本收益在产出中所占的份额。

10．生产函数（production function）

答：生产函数指在生产技术给定的条件下，在一定时期内商品的最大产出量与生产要素的投入量之间的物质数量关系。其一般表达式为：，式中，代表商品的实物产出量，代表各种生产要素的投入量，如原材料、机器设备、劳动、土地、企业家才能等。

生产函数表示厂商产出一定量的产品取决于不同生产要素在一定组合比例下的投入量。所以，生产过程也就是投入变为产出的过程。生产函数总是以一定时期的技术水平作为前提条件，一旦技术水平有了改变，就会形成新的生产函数。这个新的生产函数很可能从同样的投入量中产出更大的产量，但也有可能从既定的投入量中产出较少的产量。

11．边际产量递减（diminishing marginal product）

答：边际产量递减指在厂商的厂房、机器设备等资本投入不变的情况下，随着可变投入量的增加，劳动的边际产量一开始是递增的，但当劳动投入量增加到一定程度之后，其边际产量就会递减，直到出现负数。这是一个普遍的规律，在技术给定和其他要素投入不变的情况下，连续增加一单位某一种要素所带来的产量的增量迟早会出现下降（即使在开始阶段可能会上升），这就是边际产出递减规律。

出现边际产量递减规律的主要原因是，随着可变投入的不断增加，不变投入和可变投入的组合比例变得愈来愈不合理。当可变投入较少的时候，不变投入显得相对较多，此时增加可变投入可以使要素组合比例趋向合理从而提高产量的增量；而当可变投入与不变投入的组合达到最有效率的那一点以后，再增加可变投入，就使可变投入相对于不变投入来说显得太多，从而使产出的增加量递减。

边际产出递减规律是有条件的：①以技术不变为前提；②以其他生产要素固定不变，只有一种生产要素的变动为前提；③在可变要素增加到一定程度之后才出现；④假定所有的可变投入要素是同质的，即所有劳动者在操作技术、劳动积极性等各个方面都没有差异。

12．增长理论（growth theory）

答：增长理论指试图解释生产为什么在一定时期内会增长，并且证实影响这种增长率的要素的理论。由于经济增长一直是经济学研究的焦点之一，理论流派众多，从亚当·斯密和大卫·李嘉图为代表的古典经济理论到哈罗德—多马经济增长模型，再到索洛含技术进步因素的新古典经济增长理论。近年来，又出现了以罗默和卢卡斯为代表人物的新经济增长理论。

13．索洛剩余（Solow residual）

答：索洛剩余指实际劳动生产率与模型预测值之间的差额，它是对全要素生产率的一种衡量。经济增长归因于不同投资的贡献，无法归因于要素投入的剩余部分被认为是技术进步的贡献，这被称为索洛剩余。在生产函数为规模报酬不变的条件下，劳动和资本的边际产量等于各自的实际报酬，这意味着总产出正好分为劳动的份额和资本的份额。劳动份额，资本份额，且。经过简单变换就有：。

上述公式表明，收入的增长率（）等于以下三项之和：①技术进步率（）；②劳动投入增长率（）乘以劳动在总产量中的份额（）；③资本投入增长率（）乘以资本在总产量中的份额（）。技术进步率通常称之为全要素生产率，表示在所有投入不变的条件下，由于生产方式改进导致的产出增加量，换句话说，用相同要素投入得到更多产出时，意味着全部要素的生产率提高了。技术进步率就是索洛剩余，反映了技术进步对经济增长的贡献度。

14．人均GDP（GDP per capita）

答：人均GDP即人均国内生产总值，是以某地区一定时期国内生产总值（现价）除以同时期平均人口所得出的结果。GDP衡量的是一个国家的经济总量，人均GDP评价的是一个国家的富裕程度。在经济学界，人们更多地用人均GDP作为划分经济发展阶段的重要指标。

15．人力资本（human capital）

答：人力资本指为了提高劳动者的文化技术水平和劳动素质而投到劳动者身上的投资，是无形资本，它与物质资本（有形资本）共同构成了经济增长因素中的投资。人力资本在经济增长中的作用越来越重要，其自身不仅能形成递增的收益还能使相关的劳动和资本也产生递增的收益，从而使得整个经济的规模收益是递增的。

16．稳态均衡（steady state equilibrium）

答：稳态均衡指当经济体系的均衡状态遭到暂时破坏时，依靠其自身的力量最终还会恢复到原来正常状态的一种均衡状态。其特点是一个经济体系的均衡状态，在制约它的各种外部条件发生变动时，会使该经济体系产生脱离均衡状态的运动，但是，经济体系内部又同时会自动地产生一种力量，这种力量使体系中的各种变量重新恢复到原来的均衡状态。例如，当某一商品的供给曲线在均衡点的斜率大于需求曲线的斜率时，脱离均衡状态的波动幅度会自动逐渐缩小以至消失，并最终停留在原均衡点上，这就是阐述动态均衡的蛛网理论所描述的收敛型蛛网情况。

17．资本的边际产量（marginal product of capital，MPK）

答：资本的边际产量指在其他要素投入保持不变的情况下，增加一单位资本所获得的产品的增量。资本的边际产量用公式可以表示为，当资本的增加量非常小时，。和劳动的边际产出一样，资本的边际产出曲线的变化趋势也是倒型的，这就意味着当边际产出为零时总产出达到最大值。

18．劳动增进型技术（1abor－augmenting）

答：劳动增进型技术指新技术提高了劳动生产率，此时生产函数可写成Y=F（K，AN）。具有劳动增进型技术进步的柯布－道格拉斯生产函数将劳动增进型技术进步纳入柯布一道格拉斯生产函数，可得生产函数为：

19．全要素生产率（total factor productivity，TFP）

答：全要素生产率指生产活动在一定时间内的效率，它一般的含义为资源（包括人力、物力、财力）开发利用的效率。从经济增长的角度来说，生产率与资本、劳动等要素投入都贡献于经济的增长。从效率角度考察，生产率等同于一定时间内国民经济中产出与各种资源要素总投入的比值。从本质上讲，它反映的则是一个国家（地区）为了摆脱贫困、落后和发展经济在一定时期里表现出来的能力和努力程度，是技术进步对经济发展作用的综合反映。

20世纪50年代，诺贝尔经济学奖获得者索洛提出了具有规模报酬不变特性的总量生产函数和增长方程，形成了现在通常所说的生产率（全要素生产率）含义，并把它归结为是由技术进步而产生的。按照他的理论，全要素生产率等于产出增长率与资本增长率和劳动增长率加权之差。

二、简答题

1．生产函数提供了什么信息？

答：生产函数指在生产技术给定的条件下，在一定时期内商品的最大产出量与生产要素的投入量之间的物质数量关系。在宏观经济学中，生产函数提供了以下信息：

（1）可以使用生产函数来研究增长的两个来源，生产函数提供了投入和产出间的数量关系。一般而言，生产函数是实际用于生产的劳动量（）、资本量（）的投入和技术水平（）与整个经济的产出量（）之间的函数关系，记为。这说明，产出增长是通过增加要素投入以及通过技术改进导致的生产率提高和生产能力更强的劳动大军实现的。

（2）生产函数反映的是与既定生产要素投入量相联系的最大产出。而且产出取决于要素投入和技术水平，技术水平（）越高，给定水平的投入所生产的产量就越多。

（3）生产函数说明了资本与劳动两种生产要素可以连续变动，而且可以相互替代。

（4）更多的投入意味着更高的产出，即劳动的边际产品和资本的边际产品都是正的。

（5）把生产函数加以变形，就可以分析生产要素和生产率提高对产出增长的贡献。

2．索洛增长模型能否有助于解释趋同现象？

答：趋同指如果两个国家人口增长率、储蓄率和生产函数相同，则这两个国家最终将达到相同的收入水平。索洛增长模型能解释趋同现象，原因如下：

索洛增长模型的公式为：。式中，为人均资本，为储蓄率，为人均产量（），为劳动力的增长率，为资本的折旧率。为社会的人均储蓄，为新增劳动力所配备的资本数量和资本折旧，称为资本广化（即意味着为每一个新生的工人提供平均数量的资本存量）；为人均资本的增加，称为资本深化（即意味着每个工人占有的资本存量上升）。因而索洛新古典增长模型的基本方程又可表述为：资本深化＝人均储蓄－资本广化。

当经济处于长期均衡状态即稳态时，人均资本达到均衡值并维持在均衡水平不变，即；在忽略了技术变化的条件下，人均产量也达到稳定状态，和达到一个持久性的水平。稳态的条件：，即。

因此，如果两个国家的人口增长率、储蓄率和生产函数相同，它们最终人均收入水平和稳态增长率也将相同。

3．考虑一个忽略自然资源存量的增长模型。在什么情况下这种忽略确实会产生严重后果？

答：按照现代西方经济学的理论，在分析生产函数时，常常假定自然资源（主要是土地、矿山、森林等资源）是不变的，主要分析劳动力、资本和技术的作用。例如柯布—道格拉斯生产函数，该生产函数的一般形式为：，式中，代表产量，和分别代表劳动和资本，、和为三个参数，且。

生产函数和其后的方程忽略了大量的资本和劳动以外的投入。在某些特定的时间和场合下，资本和劳动以外的投入可能会起很大的作用。自然资源与人力资本就是其他两种重要的投入。忽略自然资源存量的生产函数不能准确预测自然资源存量的显著变化对一国经济表现的影响。例如，当发现新的石油储量或一种全新资源对产出水平有较大影响时，这种生产函数是不能预测的。

美国早期繁荣在很大程度上归因于该国有充足而肥沃的土地，与美国开发西部大致同一时间的俄国东部的开发，对俄国的经济的增长也有相似的贡献。所以，经济增长模型不能忽视自然资源存量这个因素。

4．在标准生产函数的范围内，代表实物资本，代表非熟练劳动，如果将索洛剩余（）解释为“技术进步”，我们将犯错误。除了技术进步之外，对剩余还可作什么理解呢？你将如何扩展模型来消除这个问题？

答：如果只将索洛剩余解释为“技术进步”，将会忽略人力资本（即熟练劳动）对产出的重要影响。此时的索洛剩余还应包括人力资本（）对产出增长率的重要影响。为了消除这种影响可以把人力资本（）加入到生产函数中。则生产函数就变为：

，其中。

此时产出增长率可以用下面的式子表达：

此时索洛剩余不仅包括技术进步因素所带来的产出贡献，还包括了人力资本因素所带来的产出贡献。

5．图3－8提供了对索洛增长模型的基本说明。在进行说明时，要审慎解释储蓄线和必需的投资曲线的含义。为什么稳态出现在它们的交汇处？

图3－8  稳态产出与投资

答：（1）索洛增长模型的公式为：。式中为人均资本，为储蓄率，为人均产量（），为劳动力的增长率，为资本的折旧率。为社会的人均储蓄，即图3－8中的储蓄线；为新增劳动力所配备的资本数量和资本折旧，称为资本广化（即意味着为每一个新生的工人提供平均数量的资本存量），即图3－8中的投资线；为人均资本的增加，称为资本深化（即意味着每个工人占有的资本存量上升）。因而索洛新古典增长模型的基本方程又可表述为：资本深化＝人均储蓄－资本广化。

（2）当经济处于长期均衡状态即稳态时，人均资本达到均衡值并维持在均衡水平不变，即；在忽略了技术变化的条件下，人均产量也达到稳定状态，和达到一个持久性的水平。稳态的条件：，即。

（3）交点所对应的人均资本为，人均产量为，这时人均储蓄恰好等于资本广化的需要，即，人均储蓄恰好能够为不断增长的人口提供资本（设备）和替换折旧资本而不会引起人均资本的变化。

在点以左，曲线比线高，这表明储蓄高于资本广化的需要。结果，当经济运行在点左侧时，就存在着资本深化。资本深化意味着每个工人占有的资本存量上升，即。因此，在点以左，经济中的人均资本有上升的趋势，如横轴上的箭头所示。随着时间推移，向逼近，最终用于资本广化所需的资本数量增加到这样一点，即点，在这一点上，所有的储蓄都仅用于保持人均资本不变，经济达到稳定状态。在点以右，情况正好相反，人均储蓄不能满足资本广化的需要，这时有。所以，在点以右，人均资本有下降的趋势，如图中横轴上的箭头所示。

因此，只有在点经济才能达到稳态。其中储蓄函数，假定储蓄是收入的一个固定部分。投资需求，即线，表示为保持固定的资本—劳动比率所必须的投资量。

6．决定人均产出稳态增长率的因素有哪些？还有什么其他因素会影响短期产出增长率呢？

答：（1）长期人口增长率决定了人均产出稳态增长率。新古典增长理论虽然假定劳动力按一个不变的比率增长，但当把作为参数时，就可以说明人口增长对产量增长的影响。

图3－9  人口增长的影响

图3－9中，经济最初位于点的稳态均衡。现在假定人口增长率从增加到，则图中的线便移动到线，这时，新的稳态均衡为点。比较点与点，可知，人口增长率的增加降低了人均资本的稳态水平（从原来的减少到），进而降低了人均产量的稳态水平。这是从新古典增长理论得出的又一重要结论。西方学者进一步指出，因为人口增长率上升产生的人均产量下降正是许多发展中国家面临的问题。两个有着相同储蓄率的国家仅仅由于其中一个国家比另一个国家的人口增长率高，就可以有非常不同的人均收入水平。

对人口增长进行比较静态分析的另一个重要结论是，人口增长率的上升增加了人均产出的稳态增长率，而储蓄率的增加不能影响到稳态增长率，但确实能提高收入的稳态水平。也就是说储蓄率的增加只有水平效应，绝没有增长效应。

（2）在短期内，储蓄率、技术进步和折旧率会对短期产出增长率产生影响。储蓄率的上升和技术进步会提高短期产出增长率，而折旧率的上升会引起短期产出增长率的下降。

7．20世纪90年代中期以来，美国经济在劳动生产率（用来定义）方面出现了一次变动浪潮，利用方程（2）对此次浪潮可以给出何种可能的解释？

说明：题中提到的方程（2）为：

产出增长＝（劳动份额×劳动增长）＋（资本份额×资本增长）＋技术进步

答：劳动生产率定义为，即产出（）与劳动投入（）的比率。如果产出的增长快于劳动投入的增长，就会带来劳动生产率的迅速提高。20世纪90年代中期以来GDP快速增长，美国经历了一次这样的劳动生产率的急剧变动。

美国劳动生产率的巨大变化可以由方程（2）中的两方面因素来加以解释。一方面为新技术的引进和现有技术更高的利用效率，即的快速增加。许多人认为对计算机技术的投资和应用的增加刺激了经济增长。另一方面，全球竞争的加剧迫使许多工厂通过重组生产和削减一些工作来降低成本，即增长放慢。这样，产出大量增长的同时，工作增长率却相对比较低，这就最终造成了劳动生产率的提高。更高的熟练劳动力也有助于劳动生产率的提高。因为如果工人更加熟练，同样数量的工人能生产更多的产出。

三、计算与分析题

1．一个仅包含两个生产要素的简单场景中，假设资本在收入中占的份额是0.4，劳动力的份额是0.6。资本和劳动的年增长率分别是6%和2%。假定没有技术进步。

（1）产出增长率是多少？

（2）产出增加一倍要多长时间？

（3）假定技术进步率为2%。重新计算（1）与（2）两问题。

解：（1）根据教材中公式（2）可知：产出的增长率＝（劳动增长率×劳动力份额）＋（资本增长率×资本份额）＋技术进步增长率，即：

其中是劳动力所占的份额，是资本所占的份额，由于假设不存在技术进步因素，故，因此：

所以，产出的增长率为3.6%。

（2）根据通常的“70规则”：

产出增加1倍所用的时间＝70/产出增长率

由上题可知，产出增长率为3.6%，产出增加1倍所需的时间为：（年）。

（3）据公式可知，其他条件不变，，代入公式可得产出增长率：

则产出增加1倍所需时间为：（年）。

2．假定产出每年增长3%，资本与劳动力的收入份额分别是0.3和0.7。

（1）如果劳动力与资本每年都增长1%，那么全部要素生产率增长是多少？

（2）如果劳动力与资本存量均固定不变，将会是什么结果？

解：（1）根据公式，可知：

（2）若劳动力与资本存量均固定不变并且产出增长3%，那么所有的增长要归因于全部要素生产率的增长，即为。

3．再次假定资本与劳动力的收入份额分别是0.3和0.7。

（1）资本存量增长10%对产出有什么影响？

（2）劳动数量扩大10%对产出有什么影响？

（3）如果劳动的增加完全归因于人口增长，由此引起产出增长对人民福利会有影响吗？

（4）如果劳动力的增长归因于妇女参与劳动力队伍，结果又将会怎样？

答：（1）根据公式可知，其他条件不变，，代入公式可得产出增长率：

（2）根据公式可知，其他条件不变，，代入公式可得产出增长率：

（3）如果产出以增长是由于劳动力以增长，并且劳动力的增长完全是由于人口的增长，那么人均产出就会下降并且人们的福利也会下降。

（4）如果劳动力的增长归因于妇女涌入工作场所，那么总人口就没有增加而人均产出将增加7%，因此人们的福利就会上升。

4．假定一次地震摧毁1/4的资本存量。讨论该经济体的调整过程，并利用图3－10显示短期与长期增长会发生什么变化。

说明：如果储蓄率提高，稳态的资本—劳动比率也将提高。

图3－10  稳态产出与投资

答：（1）如图3－11所示，以人均表示的生产函数为。储蓄函数为，显示了在每一资本—劳动比率上被储蓄的那部分收入。直线表示为保证资本—劳动比率固定不变而要求的投资额。在二者相交处经济达到稳态。假设在地震发生之前经济处于稳态，人均资本是，并假设地震没有影响人们的储蓄行为。

图3－11  经济的调整过程

当地震摧毁了1/4的资本存量和不到1/4的劳动力时，资本—劳动比率就会从下降到，资本产出从下降到。现在储蓄超过投资需求，即，资本存量和资本产出水平将会再次增长到稳态。

当地震摧毁了1/4的资本存量和比1/4更多的劳动力时，资本—劳动比率就会从上升到，资本产出从上升到。现在储蓄少于投资需求，即，资本—劳动比率和人均产出水平将会再次下降到稳态。

地震正好摧毁了1/4的资本存量和劳动力，稳态还会继续维持，即资本—劳动比率和资本产出不会发生变化。

（2）如果地震严重到影响人们的储蓄行为，那么储蓄线就会上下移动。这要依赖于储蓄率的增长或下降。如果人们更多地储蓄，则将有更多的投资用于灾后的重建，储蓄函数将向上移动。如图3－12所示，储蓄函数将向上移动至，若与直线交于点，重新达到稳态，此时资本—劳动比上升到，人均产出增至。

如果人们认为人生短暂，从而决定快乐地生活，他们就会减少储蓄。这样就会使储蓄率下降，储蓄函数下降到。此时与直线交于点，重新达到稳态，那么资本—劳动比率下降到，人均产量下降到。具体情况如图3－12所示。

图3－12  短期与长期增长的情况

5．假定人口增长率有所提高：

（1）以图形显示这会如何影响人均产出的增长率和短期以及长期的总产出增长率？（提示：使用如图3－13的图解）

（2）描绘该变化后的人均收入与人均资本存量的时间路径。（提示：使用如图3－13的图解）

图3－13  调整到新的稳态均衡

说明：图中3－13中（a）、（b）两图表示人均产出与产出增长率根据图3－10中储蓄率的提高进行的调整。

答：（1）人口增长率（）的提高会影响到投资需求，投资线将会更陡。伴随着人口的增长就会要求更多的储蓄以使新工人拥有其他人已有的资本数量。由曲线与直线相交决定的新的最优资本—劳动比率会使人均产出（）下降。因此，在短期会有一个负的增长率。然而在长期中，由新的更高的人口增长率决定的稳态产出增长率将会增长。如图3－14所示。

图3－14  人口增长率的影响

（2）从人均产出水平为的稳态开始，人口增长率的增长将使资本—劳动比率从下降到。人均产出将会以一个持续的递减速度下降到一个新的稳态水平，即。产出增长率将会逐渐调整到新的更高水平。如图3－15和图3－16所示。

图3－15  人均收入的时间路径

图3－16  人口增长率增长对资本—劳动比率的影响

6．考虑一个形式为的生产函数，其中是对用于生产中自然资源的量度。假定生产函数的规模报酬不变，要素边际报酬递减。

（1）资本与劳动力均出现增长，而固定不变，人均产出有何变化？

（2）增加技术进步（的增长）后，再考虑问题（1）。

（3）在20世纪70年代，人们害怕自然资源耗尽会限制增长，请用（1）、（2）的答案来讨论这种看法。

答：（1）设存在着如下形式的一种生产函数：，从而得。

由于，现在假设不存在技术进步，即，且资本和劳动的增长率相同，即。

如果资源固定不变，即可知，那么产出的增长率将是：

由此可知，由于，，产出的增长率将小于，因此，人均产量将下降。

（2）如果存在技术进步因素，即如果，那么产出的增长率将会变大，即。如果，那么产出的增长率将会大于，从而人均产量将会增加。

（3）如果自然资源的供给保持不变，那么产出的增长率将小于人口的增长率，从而可以预期当自然资源耗尽时，增长率就会受到限制。然而，如果技术进步的增长率非常大，即使自然资源的供给保持不变，产出的增长率也仍会大于人口的增长率。

7．考虑如下方程：，其中人口与劳动数量均以的速度增长。资本存量的折旧率是，标准化为1。

（1）资本与劳动的收入份额是多少？

（2）生产函数的形式是什么？

（3），测定和的稳态值。

（4）稳态的人均产出增长率是多少？总产出增长率是多少？如果全部要素生产率以每年2%的比率增长（），结果会怎样？

解：（1）因为生产函数为，并且标准化为1，可得。由此可见资本与劳动的收入份额均为50%。

（2）生产函数的形式是柯布—道格拉斯生产函数（C－D函数）。

（3）。两边除以，得，即。

因为稳态时有，得。

从而有，化简得：，即。

（4）因为，可以得稳态的人均产出增长率为。因为，由于，现在假设不存在技术进步，即，且资本和劳动的增长率相同，即，则总产出增长率。

若全部要素生产率以每年2%的比率增长（），则把的移到右边，得，可得，从而有：

8．假定技术水平固定不变，然后跃升至一个更高的恒定水平。

（1）如果保持资本—劳动比率不变，技术的跃升如何影响人均产出？

（2）给出新的稳态均衡。人均储蓄和资本—劳动比率有什么变化？人均产出有什么变化？

（3）画出向新的稳态调整的时间路径。在转变过程中，投资比率上升了吗？如果是这样的，这种影响是暂时的吗？

答：（1）如果存在技术进步，在资本—劳动比率保持不变的情况下，人均产出将会增加。函数将会增加为，从而储蓄函数将会从增加为。

（2）如果固定不变，由可以推导出，曲线和直线的交点肯定会在一个更高水平的点上。从而，在新的稳态均衡状态下，人均储蓄将会增加，资本—劳动比率将会变大，人均产出也将会增加。如图3－17所示。

图3－17  稳态均衡

（3）如果存在技术进步，储蓄水平和投资比率都将上升，直到资本—劳动比率达到一个最佳的新的更高的水平。为了达到更高水平的最佳资本—劳动比率，必须进行更多的投资，从而资本投资比率将会在转变过程中上升。由技术进步带来的影响是永久的，而不是暂时的。

新的稳态调整的时间路径如图3－18所示。

图3－18  新的稳态调整的时间路径

9．对于柯布－道格拉斯生产函数，证明是劳动的收入份额。（提示：劳动的收入份额是收入的一部分，是劳动的收入除以总收入。）

证明：柯布－道格拉斯生产函数是由美国的数学家柯布和经济学家道格拉斯提出来的生产函数。对于柯布－道格拉斯生产函数：，式中代表产量，和分别代表劳动和资本，和为两个参数，且。

劳动的边际产出为：

可以得劳动的收入份额为：。

10．考虑一个经济体，具有新古典生产函数的特征。再一次假定储蓄率是0.1，人口增长率是0.02，平均折旧率是0.03。

（1）写出人均资本形式的生产函数，找到稳定状态的k和y。

（2）在稳定状态下的k比黄金规则水平下的k大还是小?

（3）计算在该模型中，储蓄率要达到多少才能得到黄金规则水平的资本k?

（4）在新古典增长模型中，一个国家可能会有太多的储蓄吗?

答：（1）人均资本形式的生产函数为：

稳态时有sy= s=（n＋d）k，从而有0.1 =（0.02＋0.03）k。

解得稳定状态的k=4，将k=4代入人均资本的生产函数中，得y=2。

（2）黄金规则下有，代入n=0.02，d=0.03得k=100。

而稳态时的k=4，稳态下的k比黄金规则下的k要小。

（3）黄金规则水平下的消费c=f（k）－（n＋d）k= 1000.5－（0.02＋0.03）×100=5。

从而有储蓄s=10－5=5，则储蓄率=5/10=0.5时才能得到黄金规则水平的资本k。

（4）在新古典增长模型中，一个国家不会有太多储蓄。若储蓄过多，稳态的资本和收入也会越高，而k越高，维持资本－劳动比率不变所需要的投资越大，则被用于当前的消费越少，因此太多的储蓄导致高收入和低消费。因此，要达到很高的储蓄水平，就必须减少当期的消费，而这是很难达成的。