2011年清华大学经济管理学院847微观经济学考研真题及详解

1．（15分）如何区分经济活动者对待风险的厌恶、热衷和中立态度？运用预期效用理论解释“背水一战”现象？

答：（1）经济学中将经济活动者对待风险的态度分为三类：风险厌恶、风险爱好和风险中立。这三类风险态度是根据经济活动者的效用函数的特征来区分的。

（2）假定经济活动者的效用函数为U＝U（W），其中W为货币财富量，且效用函数为增函数。风险厌恶者的效用函数是严格向上的（即是严格凹函数），此时它的二阶导数小于零。这说明此人认为在无风险条件下持有一笔确定货币财富量的效用大于在风险条件下持有彩票的期望效用。风险爱好者的效用函数是严格向下的（即是严格凸函数），此时它的二阶导数也大于零。这说明此人认为在无风险条件下持有一笔确定货币财富量的效用小于在风险条件下持有彩票的期望效用。风险中立者的效用函数是线性的，此时它的二阶导数等于零。这说明此人认为在无风险条件下持有一笔确定货币财富量的效用等于在风险条件下持有彩票的期望效用。

（3）背水一战现象是典型的风险爱好者的行为，因为决策者认为冒险一拼的预期效益（或者期望效用）比安全性的撤退要大，因此背水一战现象是典型的风险爱好者的行为。

2．（15分）论述产出与成本的对偶关系。

答：生产理论和成本理论是厂商理论中同一个问题的两个方面。在技术水平和要素价格给定不变的前提下，生产函数与成本函数存在着对偶关系，具体体现为：短期内，产量曲线与成本曲线存在着对偶关系。如果说短期产量曲线是由边际收益递减规律所决定的，那么短期成本曲线则是由短期产量曲线所决定的。下面以只有一种要素可以变动的影响为例，短期边际成本和平均成本与边际产量和平均产量曲线之间的关系分别分析如下：

（1）边际产量和边际成本之间的关系TC（Q）＝TVC（Q）＋TFC＝wL（Q）＋TFC，式中，TFC为常数。由上式可得：MC＝dTC/dQ＝wdL/dQ，即：MC＝w/MP_L。

由此可得以下两点结论：

①边际成本MC和边际产量MP_L两者的变动方向是相反的。具体地讲，由于边际报酬递减规律的作用，可变要素的边际产量MP_L是先上升，达到一个最高点以后再下降，所以，边际成本MC是先下降，达到一个最低点以后再上升。MP_L曲线的上升段对应MC曲线的下降段；MP_L曲线的下降段对应MC曲线的上升段；MP_L曲线的最高点对应MC曲线的最低点。

②由以上的边际产量和边际成本的对应关系可以推知，总产量和总成本之间也存在着对应关系。当总产量TP_L曲线下凸时，总成本TC曲线和总可变成本TVC曲线是下凹的；当总产量TP_L曲线下凹时，总成本TC曲线和总可变成本TVC曲线是上凸的；当总产量TP_L曲线存在一个拐点时，总成本TC曲线和总可变成本TVC曲线也各存在一个拐点。

（2）平均产量和平均可变成本之间的关系：AVC＝TVC/Q＝wL/Q＝w/AP_L。由此可得以下两点结论：

①平均可变成本AVC和平均产量AP_L两者的变动方向是相反的。前者呈递增时，后者呈递减；前者呈递减时，后者呈递增；前者的最低点对应后者的最高点。

②由于MC曲线与AVC曲线交于AVC曲线的最低点，MP_L曲线与AP_L曲线交于AP_L曲线的最高点，所以，MC曲线和AVC曲线的交点与MP_L曲线和AP_L曲线的交点是对应的。

（3）总成本曲线随着产量的增加而递增。由于边际成本是先减后增的，且反映了总成本增加的速度，因而总成本曲线在边际成本递减阶段，增长速度越来越慢；相反，总成本曲线在边际成本递增阶段，增长速度加快。

3．（20分）生产函数Y＝F（K，L），定义E_K和E_L为资本和劳动的产出弹性，C_KL＝E_K/E_L，S_KL为生产的边际替代率，T_LK＝L/K；α＝dlnT_LK/dlnS_KL，β＝－dlnT_LK/dlnC_KL。试证明：1/α＋1/β＝1，并说明C_KL的意义。

证明：（1）根据产出弹性的定义，有：E_K＝（∂Y/∂K）·（K/Y），E_L＝（∂Y/∂L）·（L/Y）。根据生产的边际替代率有：S_KL＝（∂Y/∂K）/（∂Y/∂L），于是：

两边取对数，得：lnC_KL＝lnS_KL－lnT_LK。

两边取微分，得：dlnC_KL＝dlnS_KL－dlnT_LK。

两边同除以dlnT_LK并整理得：dlnS_KL/dlnT_LK－dlnC_KL/dlnT_LK＝1。

根据定义，显然有：1/α＋1/β＝1。

（2）C_KL是资本与劳动的产出弹性之比，其大小反映的是资本与劳动在生产中的重要性。

4．（20分）用户在A网络与B网络之间选择通话时间，其中他消费的A网络通话时间为x，B网络通话时间为y。他的效用函数为u（x，y）＝x＋y。试求A和B网络通话时间各自的需求函数。

解：设A网络通话的单价为P_x，B网络通话的单价为P_y，通话预算为M，则预算约束为P_xx＋P_yy＝M。显然效用函数也是一条直线，而且边际替代率为1，x和y是完全替代商品，于是最优消费点在角点处（即预算线和纵轴、横轴的交点）或整个预算线上获得。

（1）当预算线斜率绝对值P_x/P_y＜1时，也就是当P_x＜P_y时，消费者在预算线与横轴的交点处获得最优消费，如图1（a）所示，此时y＝0，x＝M/P_x，这就是B网络和A网络的需求函数。

（2）当预算线斜率绝对值P_x/P_y＞1时，也就是当P_x＞P_y时，消费者在预算线与纵轴的交点处获得最优消费，此时x＝0，y＝M/P_y，这就是A网络和B网络的需求函数。

（3）当预算线斜率绝对值P_x/P_y＝1时，预算线和效用线重合的点是最优消费点，此时预算线上所有点都是最优消费点，A网络和B网络的需求函数分别为x＝（M－P_yy）/P_x，y＝（M－P_xx）/P_y。

图1　预算一定时的效用最大化

5．（20分）两个厂商进行差别产品的价格竞争。其中一个是q₁＝12－2p₁＋p₂，另一个是q₂＝12－2p₂＋p₁，边际成本为0，固定成本为20。

（1）求纳什均衡中的价格和利润。

（2）二者若共谋，平分利润，求价格和利润。

（3）在短期，共谋能否成立？长期呢？

解：（1）这是个伯特兰均衡问题。厂商1和厂商2的利润函数分别为：

π₁＝p₁q₁－20＝p₁（12－2p₁＋p₂）－20

π₂＝p₂q₂－20＝p₂（12－2p₂＋p₁）－20

纳什均衡的必要条件是：∂π₁/∂p₁＝0，∂π₂/∂p₂＝0。

以此可得两厂商对对方价格的反应曲线为：12－4p₁＋p₂＝0，12－4p₂＋p₁＝0。

联立方程即可得到纳什均衡价格分别为p₁*＝p₂*＝4，利润分别为π₁*＝π₂*＝12。

（2）二者若共谋，则价格相同，设为p，此时整个市场的需求曲线为各自需求曲线之和：q＝q₁＋q₂＝24－2p。

总利润函数为：π＝pq－40＝p（24－2p）－40；

利润最大化的一阶条件：∂π/∂p＝24－4p＝0。

得二者若共谋时的价格为p＝6，总利润为32，因此各自利润为16。

（3）这是个博弈问题。假如一方采取共谋价格，则另外一方未必采取共谋价格。设厂商2采取共谋价格6，此时厂商1面对的需求函数为：q₁＝12－2p₁＋6＝18－2p₁。

厂商1的利润函数为：π₁＝p₁q₁－20＝p₁（18－2p₁）－20。

根据利润最大化的一阶条件：∂π₁/∂p₁＝18－4p₁＝0。

得厂商1的利润最大化价格为p₁＝4.5，利润为20.5，此时厂商2的利润为7。

对于厂商2来说也是如此，因此支付矩阵如下：

由此可见，这是典型的囚徒困境，双方存在着合作的基础，因为合作可以使双方都得到帕累托改进，但是短期共谋是不可能的，因为低价是各自的最佳策略，一次博弈或者有限期重复博弈都不可能改变各自的策略。

但是长期而言，他们之间的博弈就变成了无限次重复博弈，在这个有惟一纯策略纳什均衡的无限次重复博弈中，只要双方足够重视未来利益而且双方采取一定的触发惩罚策略，他们是可以达成共谋的。

6．（20分）一个村庄缺水，必须去很远处打，一村民Terry自家发现一口古井，他花了32000美元修好了古井并安装了一个自动售水装置，以后售水不需要任何成本。他发现当水价为每桶8美元时，一桶都卖不出去，水价和收益（月）变化如下：

（1）Terry如果按照利润最大，几个月能收回成本32000美元？（不计利息）

（2）如果政府花32000美元买下古井，按照社会福利最大，水价应该为多少？每月售出多少水？

解：（1）根据题意，水价超过8美元时，月边际收益均为0，所以从水价8美元开始计算，当水价等于8美元时，月总收益为0，对水的需求量为0桶；当水价为7美元时，月总收益为700美元，对水的需求量为100桶；当水价为6美元时，月总收益为1200美元，对水的需求量为200桶，依此类推，得以下需求量表：

很容易求得该需求函数为Q＝800－100P，反需求函数为P＝8－0.01Q。利润函数为：

π＝PQ－32000＝（8－0.01Q）Q－32000＝－0.01Q2＋8Q－32000

利润最大化的一阶条件为：∂π/∂Q＝－0.02Q＋8＝0，解得：Q＝400。

代入反需求函数得价格为P＝4。因此，每月收益为1600美元，因为成本为32000美元，所以需要32000/1600＝20个月才能收回成本。

（2）社会福利最大化的条件为价格等于边际成本，即P＝MC，而本题中MC＝0，所以水的价格应该定为每桶0元，将P＝0代入需求函数即得此时每月的需求量为800桶，因此每月售出水800桶。

7．（20分）垄断是否必然造成社会福利损失？从形式上看，用产品需求弹性e_d表示的垄断势力指数L＝1/e_d，并不一定介于0和1之间，这是否说明公式L＝1/e_d与Lerner指数L的定义之间存在着矛盾之处？

答：（1）垄断未必会造成社会福利损失，当垄断厂商施行一级价格歧视时，非但没有造成社会福利损失反而实现了社会总福利的最大化，但是，这种社会福利的分配毫无疑问是不公平的。

（2）用产品需求弹性e_d表示的垄断势力指数L＝1/e_d尽管并不一定介于0和1之间，但与勒纳指数的定义并不矛盾，因为垄断厂商的定价原则决定了其不可能在缺乏弹性，即e_d＜1的地方定价。

垄断厂商的边际收益（MR）为：

垄断厂商的定价原则为MR＝MC，即：MC＝P（Q）（1－1/e_d）。由于厂商的边际成本不可能小于0，所以1－1/e_d≥0，即e_d≥1。因此，只存在e_d≥1，勒纳指数的值总是在0和1之间，公式L＝1/e_d与Lerner指数L的定义之间并不矛盾。

8．（20分）甲乙交换商品：甲有300单位X，乙有200单位Y。假设甲乙有相同的效用函数U（X，Y）＝XY。

（1）甲乙交换的所有帕累托最优。

（2）一般均衡下，价格体系和交换结果。

解：（1）用X_A表示甲经过交换后拥有的商品X的数量，用Y_A表示甲经过交换后拥有的商品Y的数量，用X_B表示乙经过交换后拥有的商品X的数量，用Y_B表示乙经过交换后拥有的商品Y的数量，对甲乙而言有：

根据交换的帕累托最优条件及MRS_XY＝MU_X/MU_Y有：Y_A/X_A＝Y_B/X_B＝（200－Y_A）/（300－X_A）。整理得3Y_A＝2X_A，同理有3Y_B＝2X_B，这就是所有满足帕累托最优的状态。

（2）根据，便得到甲的边际替换率为2/3，又因为帕累托最优时边际替换率等于商品价格之比，即，所以社会的价格体系为P_X/P_Y＝2/3。

假设帕累托最优时商品X的价格为2，商品Y的价格为3，于是消费者甲的约束条件为300×2＝2X_A＋3Y_A，结合3Y_A＝2X_A，便得到交换的结果为甲用150单位的X商品换取乙的100单位的Y商品。