4.4 极大似然估计

4.4.1 封闭式单边界

接下来考虑如何估算封闭式单边界引导技术下的WTP。基于数学推导的方便性考虑，文献通常会设定η服从标准逻辑斯蒂分布，于是得到

假定调查样本数为n。在封闭式问卷下，当受访者回答“是”时定义π＝1，当受访者回答“否”时定义π＝0。对于不同的投标点A1, A2, …, An，受访者的答复依次为π1, π2, …, πn。于是可以构建极大似然函数：

相应的对数似然函数为

分别对α和β求一阶导数：

于是有

其中，z i＝1/（1+exp（－α+βA i））。

log（L（α, β））的海塞矩阵为

其方差协方差矩阵为V＝（－H）－1。

在方差协方差矩阵中，元素（1,1）为α的方差，元素（2,2）为β的方差。得到α和β的估计量后即可估计出WTP＝α/β。WTP的渐进方差为

σαα、σββ依次为α、β的方差，σαβ为α和β的协方差。

4.4.2 封闭式双边界

在封闭式双边界（double-bounded dichotomous choice, DBDC）问题下，根据受访者对两次询价的不同响应，可以将受访者区分为四类：（1）两次均回答“是”；（2）两次均回答“否”；（3）第一次回答“是”，第二次回答“否”；（4）第一次回答“否”，第二次回答“是”。首先随机挑出一个初始投标值A0询问受访者是否愿意支付。如果受访者回答“是”，则再选取一个稍高的投标值A+进行追问；反之，若回答“否”，则再选取一个较低的投标值A－进行追问。用πYY表示受访者既愿意支付A0也愿意支付AH；用πYN表示愿意支付A0，但不愿意支付AH；用πNY表示不愿意支付A0，但愿意支付AL；用πNN表示既不愿意支付A0也不愿意支付AL。

定义Pr（YY）＝1－GWTP（AHi; θ），Pr（YN）＝GWTP（AHi; θ）－GWTP（Ai; θ），Pr（NY）＝GWTP（Ai; θ）－GWTP（ALi; θ），Pr（NN）＝GWTP（ALi; θ），其中θ＝（, α β）。

封闭式双边界模型的估计方法与单边界模型基本类似，在封闭式双边界模型下，样本的极大似然函数可设定为

若GWTP（·）为正态分布，则式（4-48）应即为Probit模型。对A求对数，即可转化为对数正态分布模型。当然，如果事先不清楚应采用正态分布还是对数正态分布，则更为稳妥的办法是进行BOX-COX转换检验。

估计出θ后，WTP的计算方法取决于分布函数的设定形式，具体见4.3.3节的讨论，不再另文赘述。