2.3 函数的凸性

由前述讨论可知，函数的最优值与极值是有区别的。前者是指全域而言，而后者仅为局部的性质。一般来说，在函数定义的区域内部，最优点必是极值点，反之却不一定。如果能得到两者等同条件，就可以用求极值的方法来求最优值，因此对于函数的最优值与极值之间的关系需做迸一步的讨论。目标函数的凸性与所需讨论的问题有密切的关系。

我们可以先用一元函数来说明函数的凸性。如图2-7所示，图2-7a中在（x^（1），x^（2））区间上曲线是下凸的，图2-7b的曲线是上凸的，它们的极值点（极小点或极大点）在区间内都是唯一的。这样的函数称为具有凸性的函数，或称为单峰函数。

图2-7 函数的凹凸性定义

2.3.1 凸集与非凸集

为了考虑多元函数的凸性，首先要说明函数定义域应具有的性态。

设D为n维欧氏空间中设计点X的一个集合，若其中任意两点X^（1）和X^（2）的连线都在集合D中，则称这种集合是n维欧氏空间的一个凸集。二维函数的情况如图2-8所示，其中图2-8a所示为凸集，图2-8b所示为非凸集。

图2-8 函数定义域的性态

在n维空间中，若对某集合D内的任意两点X^（1）与X^（2）作连线，使连线上的各个内点对任何实数a（0≤a≤1）恒有

X=aX^（1）+（1-a）X^（2）∈D （2-17）

则称D为凸集。图2-9所示是对于二维问题、式（2-17）对应的向量图解。

n维无约束最优化问题的整个设计空间Rⁿ是凸集。

图2-9 二维函数定义域凸性定义图解

2.3.2 凸函数的定义

设f（X）为定义在n维欧氏空间中一个凸集D上的函数，若对任何实数ξ（0≤ξ≤1）及D域中任意两点X^（1）与X^（2）存在如下关系：

f（ξX^（1）+（1-ξ）X^（2））≤ξf（X^（1））+（1-ξ）f（X^（2）） （2-18）则称函数f（X）是定义在凸集D上的一个凸函数。现用图2-10所示定义于区间［a，b]上的单变量函数来说明这一概念。若连接函数曲线上任意两点的直线段，某一点x（k）的函数值恒低于此直线段上相应的纵坐标值，则这种函数就是凸函数，也就是单峰函数。

若将式（2-18）中的符号“≤”改为“＜”，则称函数f（X）为严格凸函数。若将式（2-18）中的符号“≤”改为“≥”，则如图2-7b所示，函数曲线上凸（有极大点），通常称为凹函数。显然，若f（x）为凸函数，则-f（x）为凹函数。

图2-10 凸函数的定义

2.3.3 凸函数的基木性质

1）若函数f₁（X）和f₂（X）为凸集D上的两个凸函数，对任意正数a和b，函数f（X）=af₁（X）+bf₂（X）仍为D集上的凸函数。

2）若X^（1）与X^（2）为凸函数f（X）中的两个最小点，则其连线上的一切点也都是f（X）的最小点。

证明略。

2.3.4 凸函数的判定

判别法1：若函数f（X）在D₁上具有连续一阶导数，而D为D₁内部的一个凸集，则f（X）为D上的凸函数的充分必要条件为：对任意的X^（1），X^（2）∈D恒有

f（X^（2））≥f（X^（1））+（X^（2）-X^（1））^TΔf（X^（1）） （2-19）

判别法2：若函数f（X）在凸集D上存在二阶导数并巨连续，f（X）在D上为凸函数的充分必要条件为：对于任意的X∈D，f（X）的黑塞矩阵H（X）处处是正半定矩阵。

若黑塞矩阵H（X）对一切X∈D都是正定的，则f（X）是D上的严格凸函数，反之不一定成立。

例2-1 判别函数f（X）=50-10x₁-4x₂+x²₁+x²₂-x₁x₂在D=｛X|-∞＜x_i＜+∞（i=1，2）｝上是否为凸函数。

解：利用黑塞矩阵来判别：

因此黑塞矩阵是正定的，故f（X）为严格凸函数。

2.3.5 函数的凸性与局部极值及全域最优值之间的关系

设f（X）为定义在凸集D上的一个函数，一般来说，f（X）的极值点不一定是它的最优点。但是，若f（X）为凸集D上的一个凸函数，则f（X）的任何极值点，同时也是它的最优点。若f（X）还是严格凸函数，则它有唯一的最优点。