第一章　准规则斑图概述

第一节　准规则斑图的概念

准规则斑图（Quasi-Regular Pattern）是基于弱混沌动力系统，通过哈密顿量变换导出其数学模型，并经计算机图形技术处理产生的一类非线性图形。导出准规则斑图模型的途径包括：对粒子运动在特定条件下产生的弱混沌动力学行为进行研究，经过哈密顿变换建立起准规则斑图数学模型[1，2]；对流体力学中流线斑图的对称性与混沌的研究，如对恒定外力场中准晶体对称平面流的研究[3]，以及对定态三维流中准对称性结构的研究[4]等，同样可推导出准规则斑图动力学模型。

以研究粒子运动在特定条件下产生的弱混沌动力学行为为例，导出准规则斑图的过程简述如下：

由于带电粒子系统受到恒定磁场及平面波电场的共同作用，当拉摩转动与波场频率发生共振这一特定条件出现时，其相平面上将呈现出无限大的随机网。由此，苏联学者扎斯拉夫斯基等五人在1986年通过对共振扭转映射的研究[1，2]，指出由他们提出的共振扭转映射可以产生弱混沌的一种特殊形式——均匀随机网。该共振扭转映射的表达形式为：

称为“以α为旋转角度的二维扭转映射”，又简称为ZZSUC映射[1，2]。

在式（1-1）中，x, y为变量，给出绘图坐标，K是表征不可积性的扰动强度。

如α=2π/q, q为整数，则当q次共振条件成立时的ZZSUC映射称为q阶共振扭转映射：

准规则斑图可以通过对q次准对称随机网进行平滑操作，即通过哈密顿量变换来获得Hq（x, y，t）→H（0）q（x, y）。由此所获得的哈密顿量为 H（0）q，即：

式中，x, y为变量，给出绘图坐标；能面H（0）q为因变量，给出该动力系统的等高曲线族，形成千变万化的构图；q为绘图控制参数，取值为整数。

能面H（0）q的等高线H（0）q（x, y）=E给出系统的各种形状和大小的闭合不变曲线族。这些不变曲线构成的斑图呈现q次对称性。其中，q∈｛1，2，3，4，6｝的平滑化图案呈周期性特征，即兼具平移周期性与转动周期性，其斑图具有明显的对称性特点；q∈｛1，2，3，4，6｝的平滑化图案则仅有转动周期性而无平移周期性，因而构成一类准规则相轨迹斑图，即准对称斑图[1，2]。

因此，如果仅从图形属性的角度来理解，可以简单地把准规则斑图笼统地概括为由式（1-3）表达的数学模型及其变化形式所定义的所有图形。

准规则斑图产生于数学模型与计算机绘图方法，具有独特的图形特点。从构图看，准规则斑图主要表现为造型抽象的几何图案，或是块面构图为主，或是各类线条为主，亦可线面结合，既千变万化又纹样形式感极强；从色彩看，由于是基于数学模型的计算机控制、操作，其色彩可控程度极高，可以通过色彩参数变换出设计人员习惯的各种色彩。所以，借助计算机图形技术，通过数学模型的变化与色彩控制，准规则斑图可以形成变化万千、千姿百态的美妙图案[5-7]。显然，准规则斑图奇特新颖，极富美感与视觉冲击力，非人类大脑所能想象，无疑是弱混沌动力系统贡献给人类视觉艺术的一场盛宴！

作为一种全新的艺术视图，准规则斑图在艺术设计方面已经开始受到设计人员的注意。尤其在纺织上，准规则斑图（如无强调必要，以下简称“斑图”）不仅在面料的纹样设计领域受到了越来越广泛的重视，而且在提花面料技术开发上亦得到了应用。其中，文献[8-10]讨论了准规则斑图在面料印花纹样设计上的应用方法；文献[11，12]重点研究了准规则斑图在提花面料纹样设计上的应用方法；文献[13-15]探讨了应用准规则斑图开发形成新型提花面料的制备工艺技术的途径；文献[16]则通过提取准规则斑图的三维信息研究形成开发3D服饰用品的具体技术手段。这些工作均为准规则斑图在设计与工程技术领域的开发利用提供了有益的借鉴与参考，从而展示出了其广阔的应用前景。