7.5 空间曲面

在7.3节，我们已经介绍了空间曲面方程的定义. 事实上，空间曲面与其方程F（x，y，z）=0是一一对应的关系. 于是研究空间曲面便分成两个基本问题：

（1）已知曲面上动点的几何特征，如何建立曲面的一般方程。与平面解析几何中将曲线视为动点的轨迹相仿，空间解析几何中，空间曲面可视为空间的动点按一定的运动规律运动时的轨迹，因此动点的坐标x，y，z必然满足一定的关系，而此关系可用关于x，y，z的一个三元方程来刻画. 这样我们将研究空间曲面的“形”便转化为研究其方程的“数”，即：将几何问题通过代数的方法解决.

（2）已知曲面方程的特点，怎样去判断曲面的形状、特征。这两个基本问题体现了“数形结合”的基本思想.

空间曲面是后续章节重积分、曲线和曲面积分的基础. 本节我们将立足于这两个基本问题，介绍一些常见的空间曲面.

7.5.1 柱面

定义7.5.1　平行于定直线L且沿定曲线Γ移动的直线所形成的曲面称为柱面（见图7-5-1），其中定曲线Γ称为柱面的准线（或导线），形成柱面的动直线称为柱面的母线.

下面我们介绍一种母线平行于坐标轴的特殊柱面.

设柱面的母线平行于z轴，准线为xOy坐标面上的一条曲线，其方程为f（x，y）=0（见图7-5-2），如何求该柱面方程？

设M（x，y，z）为该柱面上任一点，过点M作平行于z轴的直线，显然该直线就是柱面的母线，在柱面内，故它与准线Γ会有一个交点N，坐标是（x，y，0），又因为点N在曲线Γ上，故x，y必满足方程f（x，y）=0；反之，满足方程f（x，y）=0的点M（x，y，z）必在过点N（x，y，0）的母线上，从而在柱面上. 于是可以求得该柱面方程为

所以柱面的形状和方程取决于母线方向及准线形状. 下面给出母线平行于z轴的几个常见柱面的图形及方程：

椭圆柱面：（见图7-5-3）.

双曲柱面：（见图7-5-4）.

抛物柱面：y2=2px（p>0）（见图7-5-5）.

同理，当柱面的母线平行于x轴、y轴时，柱面的方程分别为其准线在yOz、zOx坐标面内的方程.

7.5.2 旋转曲面

定义7.5.2　平面上曲线C绕该平面上一条定直线L旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，其中平面曲线C称为旋转曲面的母线，定直线L称为旋转曲面的轴.

下面我们来介绍一种母线在坐标面上，旋转轴为该坐标面上某坐标轴的旋转曲面.

设旋转曲面Σ是由yOz坐标面上的曲线C：f（y，z）=0绕z轴旋转一周而成（见图7-5-6），如何求该旋转曲面Σ的方程？

设M（x，y，z）为该旋转曲面Σ上任一点，过点M作垂直于z轴的平面，显然该平面与旋转曲面的交线为一个圆周. 我们假设平面与曲线C的交点为N，与z轴的交点为P，那么点P就是这个圆周的圆心，而M，N同在圆上，且这三个点同在水平面上，故它们的z轴的坐标应该都为z，所以P点的坐标就是（0，0，z），而N点的坐标我们可设为（0，y1，z），其中

|y1|=|PN|=|PM|.

又由空间两点间的距离公式：

而N点在曲线C上，应满足曲线C的方程，则有

f（y1，z）=0.

所以我们只需要将带入曲线C的方程就可以得到旋转曲面Σ的方程为

例7.5.1　直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得到的旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为该圆锥面的顶点，两直线的夹角α称为圆锥面的半顶角. 求该圆锥面的方程.

解　为了方便讨论，我们取坐标原点O为顶点，旋转轴为z轴来建立圆锥面的方程（见图7-5-7）.

在yOz坐标面内，直线L的方程为

z=ycotα，

直线L就是圆锥面的母线，由式（7.5.2）可知，该直线绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为

两边平方可得所求圆锥面方程为

z2=cot2α（x2+y2）.

记a2=cot2α，则圆锥面方程常被写为

z2=a2（x2+y2）.

特别地，如果半顶角，则圆锥面方程为

z2=x2+y2.

7.5.3 二次曲面

二次曲面：三元二次方程所表示的曲面.

例如球面，还有我们刚刚介绍的圆锥面都是二次曲面.

接下来，再介绍几类特殊的二次曲面：椭球面、椭圆抛物面、双曲抛物面、单叶双曲面和双叶双曲面.

1. 椭球面

形如图7-5-8所示. 特别地，如果a=b=c，式（7.5.3）就表示一张球心在原点，半径为a的球面；如果a，b，c中有两个相等，例如a=b，式（7.5.3）变成，这表示的是一个旋转椭球面.

2. 椭圆抛物面

当p>0，q>0时，椭圆抛物面开口向上，形如图7-5-9所示。

特别地，当p=q时，式（7.5.4）变成

x2+y2=2pz，

这表示的是旋转抛物面.

3. 双曲抛物面

当p>0，q>0时，双曲抛物面的图形如图7-5-10所示. 由于双曲抛物面形似马鞍面，所以也称之为马鞍面.

特别地，方程z=xy表示的也是马鞍面（见图7-5-11）.

4. 单叶双曲面

特别地，当a=b时，式（7.5.6）变为

表示的是旋转曲面，称为旋转单叶双曲面，如图7-5-12所示.

5. 双叶双曲面（见图7-5-13）

特别地，当a=b时，式（7.5.7）变为，此时该曲面称为旋转双叶双曲面.

习题7-5

1. 已知两点A（1，-3，1），B（5，1，3），试写出以AB为直径的球面方程.

2. 试求以（5，-5，7）为中心且与平面x-2y+3z+6=0相切的球面方程.

3. 求与z轴和xOy坐标面等距离的点的轨迹方程.

4. 设一柱面的准线方程为其母线平行于直线试求该柱面方程.

5. 求下列旋转曲面的方程：

（1）xOy坐标面上的直线y=2绕x轴旋转一周；

（2）yOz坐标面上的直线z=2y绕z轴旋转一周；

（3）xOy坐标面上的双曲线x2-y2=1绕y轴旋转一周；

（4）xOz坐标面上的抛物线z2=1+x绕x轴旋转一周.

6. 求到坐标原点O的距离是到点（3，0，-6）的距离的一半的点的轨迹方程，并指出它表示怎样的图形.

7. 试求以x轴为旋转轴，以坐标原点O为顶点，半顶角为的圆锥面方程.

8. 试作出下列各柱面的草图：

（1）；

（2）z=1-x2；

（3）x2+y2=ax；

（4）2y-z=0.

9. 说明下列旋转曲面是怎样形成的，并作出草图：

（1）x2+4y2+z2=4；

（2）；

（3）x2+y2=（z-1）2；

（4）x2+y2=1-z.

10. 试求到两点（1，0，0）和（-1，0，0）的距离之和为4的点的轨迹方程，并指出它表示怎样的图形.

11. 已知一锥面的顶点为（0，1，1），其准线为试建立该锥面的方程.