2.3 描述多径衰落信道的主要参数
移动通信信道是色散信道，即传输信号波形经过移动通信信道后会发生波形失真。电波通过移动通信信道后，信号在时域上、频域上和空间（角度）上都产生色散，本来分开的波形在时间上或频谱上或空间上会产生交叠，体现在以下几方面：
1）多径效应在时域上引起信号的时延扩展，使得接收信号的时域波形展宽，相应地在频域上规定了相关（干）带宽性能。当信号带宽大于相关带宽时就会发生频率选择性衰落。
2）多普勒效应在频域上引起频谱扩展，使得接收信号的频谱产生多普勒扩展，相应地在时域上规定了相关（干）时间性能。多普勒效应会导致发送信号在传输过程中的信道特性发生变化，产生所谓的时间选择性衰落。
3）散射效应会引起角度扩展。移动台或基站周围的本地散射以及远端散射会使不同位置的接收天线经历的衰落不同，从而产生角度扩散，相应地在空间上规定了相关（干）距离性能。空域上波束的角度扩散造成了同一时间、不同地点的信号衰落起伏不一样，即所谓的空间选择性衰落。
通常用功率在时间、频率以及角度上的分布来描述多径信道的色散，即用功率时延分布（Power Delay Profile, PDP）描述信道在时间上的色散；用多普勒功率谱密度（Doppler Power Spread Density, DPSD）描述信道在频率上的色散；用功率角度谱（Power Azimuth Spec trum, PAS）描述信道在角度上的色散。定量描述这些色散时，常用一些特定参数来描述，如时延扩展、相关带宽、多普勒扩展、相关时间、角度扩展和相关距离等。
2.3.1 时延扩展和相关带宽
1．时延扩展
当发射端发送一个极窄的脉冲信号s（t）=a0δ（t）至移动台时，由于在多径传播条件下存在着多条长短不一的传播路径，发射信号沿各个路径到达接收天线的时间就不一样，移动台所接收的信号Sr（t）由多个时延信号构成，产生时延扩展（Time Delay Spread），如图2-11所示。
图2-11 时延扩展示意图
时延扩展的大小可以直观地理解为在一串接收脉冲中，最大传输时延和最小传输时延的差值，记为Δ。若发送的窄脉冲宽度为Tp，则接收信号宽度为Tp+Δ。
由于存在时延扩展，接收信号中一个码元的波形会扩展到其他码元周期中，引起码间串扰（Inter-Symbol Interference, ISI）。当码元速率Rb较小，满足条件Rb＜1/Δ时，可以避免码间串扰。当码元速率较高时，应该采用相关的技术来消除或减少码间串扰的影响。
严格意义上，时延扩展Δ可以用实测信号的统计平均值的方法来定义。利用宽带伪噪声信号所测得的典型功率时延分布（又称时延谱）曲线如图2-12所示。所谓时延谱是由不同时延的信号分量具有的平均功率所构成的谱，P（τ）是归一化的时延谱曲线。图2-12中横坐标为时延τ，τ=0表示P（τ）的前沿，纵坐标为相对功率密度。
图2-12 典型的归一化时延（功率）谱曲线
定义P（τ）的一阶矩为平均时延τm，P（τ）的二阶中心矩即方均根值（rms）为时延扩展Δ，即
另外，还可定义一个参量：最大多径时延差Tm，即归一化的包络特征曲线P（τ）下降到-30dB处所对应的时延差。
由式（2-66）定义的时延扩展Δ是对多径信道及多径接收信号时域特征的统计描述，表示时延扩展的程度。Δ值越小，时延扩展就越轻微。反之，Δ值越大，时延扩展就越严重。各个地区的时延扩展值只能由实测得到。表2-1给出了时延扩展的一些实测数据。
表2-1 时延扩展典型实测数据
从表2-1给出的实测结果可知，市区的传播时延要比郊区长。在市区4km长的传播路径上，相对于包络最高值-30dB处所测得的最大时延可达12μs。
2．相关带宽
与时延扩展有关的一个重要概念是相关带宽，当信号通过移动通信信道时，会引起多径衰落。那么，信号中不同的频率分量的衰落是否相同？这个问题的答案对于不同的信道和不同的信号是不一样的。根据衰落与频率的关系，可将衰落分为两种：频率选择性衰落与非频率选择性衰落，后者又称为平坦衰落。
频率选择性衰落是指信号中各分量的衰落状况与频率有关，即传输信道对信号中不同频率分量有不同的幅度增益和相移。由于信号中不同频率分量衰落不一致，衰落信号波形将产生失真。非频率选择性衰落是指信号中各分量的衰落状况与频率无关，即信号经过传输后，各频率分量所遭受的衰落具有一致性，即相关性。频率选择性衰落是否发生由信号和信道两方面因素决定。当信号的带宽小于相关带宽时，发生非频率选择性衰落；当信号带宽大于相关带宽时，发生频率选择性衰落。
为了简化推导，我们以两条射线模型（有时简称为双径模型）为例进行分析。图2-13给出了双射线信道模型，为分析方便，我们不计信道的固定衰减，用“1”表示第一条射线，信号为Si（t）；用“2”表示另一条射线，其信号为βSi（t）ejωΔτ(t)，β为一比例常数，Δτ（t）为两径时延差。于是，接收信号为两者之和，即
图2-13所示的双射线信道等效网络的传递函数为
信道的幅频特性为
由上式可知，当ωΔτ（t）=2nπ（n为整数）时，双径信号同相叠加，信号出现峰点；而当ωΔτ（t）=（2n+1）π时，双径信号反相相消，信号出现谷点，即出现了合成波的干涉现象。根据式（2-69）画出的幅频特性如图2-14所示。
图2-13 双射线信道的等效网络
图2-14 双射线信道的幅频特性
由图2-14可见，其相邻两谷点的相位差为
Δφ=ΔωΔτ（t）=2π
则
或
由此可见，合成信号两相邻幅值为最小值的频率间隔是与多径时延差Δτ（t）成反比的，通常称Bc为信道的相关带宽。若所传输的信号带宽较宽，以至于可与Bc比较时，则所传输的信号将产生明显的畸变。
实际上，移动通信信道中的传播路径通常不止两条，而是多条，且由于移动台处于运动状态，相对的多径时延差Δτ（t）也是随时间而变化的，这就使信道的传递函数呈现复杂情况。此时，比较严格的分析应对两个信号的包络相关性进行分析，得出两个信号包络的相关系数表达式，再由给定包络的相关系数值反推出相关带宽的表达式，进而推出相关带宽，但该方法比较复杂，这里不予讨论，感兴趣的读者可参阅相关文献。
在实际应用中，相关带宽可按下式估算
式中，Δ为时延扩展。
例如，当Δ=3μs时，Bc=53kHz。此时，传输信号带宽应小于Bc=53kHz。
另外，在实际应用中，有时也用最大时延Tm的倒数来估算相关带宽，即
例如，某市区实测最大时延Tm=3.5μs，则相关带宽Bc约等于280kHz。此时，对于带宽为25kHz的窄带数字信号，由多径效应引起的衰落为平坦衰落。
从物理概念上讲，相关带宽表征的是衰落信号中两个频率分量基本相关（或有一定相关度）的频率间隔。也就是说，衰落信号中的两个频率分量，当其频率间隔小于相关带宽时，它们是相关的，其衰落具有一致性；当频率间隔大于相关带宽时，它们就不相关了，其衰落具有不一致性。
相关带宽实际上是对移动通信信道传输具有一定带宽信号能力的统计度量。对于某个移动环境，其时延扩展Δ可由大量实测数据经过统计处理计算出来，并可进一步确定这个移动通信信道的相关带宽Bc。也就是说，相关带宽是移动通信信道的一个特性。对于数字移动通信来说，当码元速率较低、信号带宽远小于信道相关带宽时，信号通过信道传输后各频率分量的变化具有一致性，则信号波形不失真，此时的衰落为平坦衰落；反之，当码元速率较高，信号带宽大于相关带宽时，信号通过信道传输后各频率分量的变化是不一致的，将引起波形失真，此时的衰落为频率选择性衰落。
【例2-6】 未归一化的时延谱如图2-15所示，试计算多径分布的平均附加时延和rms时延扩展。若设信道相关带宽按式（2-70）计算，则该系统在不使用均衡器的条件下对AMPS或GSM业务是否合适？
图2-15 某时延谱的测量结果
解：式（2-65）和式（2-66）中的时延谱是归一化的，而图2-15给出的是未归一化的，需进行归一化运算。
所给信号的平均附加时延为
时延平方的平均值为
所以rms时延扩展Δ为
由式（2-70）可得相关带宽为
因为相关带宽Bc大于30kHz，所以AMPS不需均衡器就能正常工作。而GSM所需的200kHz带宽超过了Bc，所以GSM需要均衡器才能正常工作。
2.3.2 多普勒扩展和相关时间
频率色散参数是用多普勒扩展来描述的，而相关时间是与多普勒扩展相对应的参数。与时延扩展和相关带宽不同的是，多普勒扩展和相关时间描述的是信道的时变性。这种时变性或是由移动台与基站间的相对运动引起的，或是由传播路径中的物体运动引起的。
当信道时变时，信道具有时间选择性衰落，这种衰落会造成信号的失真。这是因为发送信号在传输过程中的信道特性发生了变化。信号尾端的信道特性与信号前端的信道特性发生了变化，就会产生时间选择性衰落。
1．多普勒扩展
若接收信号为N条路径来的电波，其入射角都不尽相同，当N较大时，多普勒频移就成为占有一定宽度的多普勒扩展BD。
设发射频率为fc，到达移动台的信号为单个路径来的电波，其入射角为α，则多普勒频移为fD=fmcosα，这里fm=ν/λ，为最大多普勒频移。
假设移动台天线为全向天线，且入射角α服从0～2π的均匀分布，即多径电波均匀地来自各个方向，则角度α到α+dα之间到达电波功率为
，这里Pav是所有到达电波的平均功率。
来自角度α和-α的电波引起相同的多普勒频移，使信号的频率变为
多普勒频移fD为入射角α的函数，当入射角从α变化到α+dα时，信号的频率从f变化到f+df。因此，在频率域从f到f+df之间的接收信号功率为
式中，SPSD（f）为接收信号功率谱密度。式（2-73）还考虑到了多普勒频移关于入射角的对称性。由式（2-73）可得
又
由式（2-72）可得
代入式（2-74）可得
依据式（2-77），图2-16给出了多普勒效应引起的接收功率谱变化。可见，尽管发射频率为单频fc，但接收电波的功率谱SPSD（f）却扩展到（fc-fm）～（fc+fm）范围，这相当于单频电波在通过多径移动通信信道时受到随机调频（Random FM）。接收信号的这种功率谱展宽就称为多普勒扩展。如图中所示，多普勒扩展被定义为fm。
图2-16 多普勒扩展
在f=fc±fm处出现无穷大的现象是由于前述假设所致，事实上是不可能的。
2．相关时间
相关时间是信道冲激响应维持不变（或一定相关度）的时间间隔的统计平均值。也就是说，相关时间是指在一段时间间隔内，两个到达信号具有很强的相关性，信道特性没有明显变化。因此，相关时间表征了时变信道对信号的衰落节拍，这种衰落是由多普勒效应引起的，并且发生在传输波形的特定时间段上，即呈现出时间选择性。
时间相关函数与多普勒功率谱之间是傅里叶变换关系，由此关系可导出多普勒扩展与相关时间的关系，但推导比较复杂。粗略地说，可用最大多普勒频移fm的倒数定义为相关时间Tc，即
如果将相关时间定义为两个信号包络相关度为0.5时的时间间隔，则可以推出相关时间近似为
显然，式（2-79）的估计要比式（2-78）的保守一些。
上述公式给出了衰落信号可能急剧起伏的时间间隔，它表明时间间隔大于Tc的两个到达信号受信道的影响各不相同。以式（2-79）计算为例，当移动台的速度为60km/h，其载频为900MHz的情况下，相关时间的一个保守估计值为3.58ms，这说明若要保证数字信号经过信道后不会产生时间选择性，就必须保证传输的符号速率大于1/Tc=279bit/s。
【例2-7】 选择测量小尺度传播需要适当的空间取样间隔，假设连续取样值有很强的时间相关性。在载频为1900MHz及车速为50m/s的情况下，移动10m需要多少个样值？如果测量能够在运动的车辆上实时进行，则进行这些测量需要多长时间？信道的多普勒扩展BD为多少？
解：由相关性知道，样值间隔时间为Tc/2，选取Tc的最小值作保守估计。由式（2-79）得
选择样值的间隔至少为Tc/2，即282.5μs。
对应的空间取样间隔为
所以，移动10m距离所需的样值数目为
进行测量所需时间为
多普勒扩展为
2.3.3 角度扩展和相关距离
1．角度扩展
移动环境中的主要散射体有移动台周围的本地散射体、基站周围的本地散射体和远端散射体，所有的角度信息都与散射环境密切相关。
角度扩展是由移动台或基站周围的本地散射体以及远端散射体引起的，它与角度功率谱有关。研究表明，角度功率谱一般为均匀分布、截短高斯分布、截短拉普拉斯分布和余弦偶指数分布。
在室外环境下，到达基站的电波分布在一个较窄的角度内，此时基站端的角度功率谱主要取决于移动台周围的散射体分布。当散射体均匀分布在移动台四周时，基站的角度功率谱呈现均匀分布；当本地散射服从瑞利分布时，基站的角度功率谱为截短高斯分布。
角度扩展δ被定义为归一化角度功率谱Pδ（θ）的方均根值，即
式中，θ是来自散射体的入射电波与基站天线阵列中心和移动台阵列中心连线之间的夹角，其平均值为
角度扩展δ描述了功率谱在空间上的色散程度，可分布在0～360°之间。角度扩展越大，表明散射越强，信号在空间的色散度越高；反之，角度扩展越小，表明散射越弱，信号在空间的色散度越低。
2．相关距离
相关距离是信道冲激响应维持不变（或一定相关度）的空间间隔的统计平均值。在相关距离内，信号经历的衰落具有很大的相关性，它是空间自相关函数特有的参数，为衡量空间信号随空间相关矩阵变化提供了更直观的方法。在相关距离内，可以认为空间传输函数是平坦的，即若相邻天线的空间距离比相关距离小得多，则相应的信道就是非空间选择性信道。
当相关距离定义为两个信号包络相关度为0.5时的空间间隔，则可以推出相关距离近似为
由式（2-82）可见，相关距离除了与角度扩展有关外，还与来波到达角有关。在天线来波信号到达角相同的情况下，角度扩展越大，不同接收天线接收到的信号之间的相关性就越小；反之，角度扩展越小，不同接收天线接收到的信号之间的相关性就越大。同样，在角度扩展相同的情况下，来波信号的到达角越大，不同接收天线接收到的信号之间的相关性就越大；反之，来波信号的到达角越小，不同接收天线接收到的信号之间的相关性就越小。因此，为了保证相邻两根天线经历的衰落不相关，在弱散射下的天线间隔要比在强散射下的天线间隔大一些。
2.3.4 多径衰落信道的分类
移动通信信道中的时间色散和频率色散可能产生4种衰落效应，这是由信号、信道以及相对运动的特性引起的。根据信号带宽和信道带宽的比较，可将信道分为平坦衰落和频率选择性衰落信道；而根据发送信号与信道变化快慢程度的比较，可将信道分为快衰落和慢衰落信道。
1．平坦衰落和频率选择性衰落
如果信道相关带宽远大于发送信号的带宽，则接收信号经历平坦衰落。在平坦衰落情况下，信道的多径结构使发送信号的频谱特性在接收机内仍能保持不变，所以平坦衰落也称为非频率选择性衰落。平坦衰落信道的条件可概括为
式中，Ts为信号周期（信号带宽Bs的倒数）；Δ为信道的时延扩展；Bc为相关带宽。
如果信道相关带宽小于发送信号带宽，则该信道特性会导致接收信号产生频率选择性衰落。此时，信道冲激响应具有多径时延扩展，其值大于发送信号带宽的倒数。在这种情况下，接收信号中包含经历了衰减和时延的发送信号的多径波，因而产生接收信号失真。频率选择性衰落是由信道中发送信号的时间色散引起的，这种色散会引起符号间干扰。
对于频率选择性衰落而言，发送信号的带宽大于信道的相关带宽，由频域可以看出，不同频率信号获得不同增益，产生频率选择性衰落，其条件是
2．快衰落和慢衰落
当信道的相关时间比发送信号的周期短，且信号的带宽Bs小于多普勒扩展BD时，信道冲激响应在符号周期内变化很快，从而导致信号失真，产生衰落，此衰落为快衰落。所以信号经历快衰落的条件是
当信道的相关时间远远大于发送信号的周期，且信号的带宽Bs远远大于多普勒扩展BD时，可以认为该信道是慢衰落信道。所以信号经历慢衰落的条件是
快衰落主要是由于收发端的相对运动以及传播环境中移动物体的随机运动造成的。
显然，移动台的移动速度（或传播路径中物体的移动速度）及信号发送速率，决定了信号是经历了快衰落还是慢衰落。注意，这里的快或慢是通过发送信号变化快慢与信道特性变化快慢比较得出的，而不能说多径衰落就一定是快衰落。
另外，当考虑角度扩展时，会有角度色散，即空间选择性衰落。这样可以根据信道是否考虑了空间选择性，把信道分为标量信道和矢量信道。标量信道是指只考虑时间和频率的二维信息信道；而矢量信道是指考虑了时间、频率和空间的三维信息信道。