2.2 流体力学的控制方程
任何流动都必须遵守三个基本的物理守恒定律，即质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。若流动包含有不同成分（组元）的混合或相互作用，系统还需遵守组分守恒定律；若流动处于湍流状态，系统还需遵守附加的湍流输运方程。
控制方程是对这些守恒定律的数学描述。本节先介绍这些基本守恒定律所对应的控制方程。
2.2.1 质量守恒方程
任何流动问题都必须满足质量守恒定律，该定律可表述为：单位时间内流体微元体中质量的增加等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量。按照质量守恒这一定律，可以得出质量守恒方程，即
（2.4）
引入矢量符号div（a）=∂ax/∂x+∂ay/∂y+∂az/∂z，式（2.4）可写成：
（2.5）
有的文献使用符号
表示散度，即·a=div（a）=∂ax/∂x+∂ay/∂y+∂az/∂z，这样，式（2.4）可写成：
（2.6）
式中 ρ——密度；
t——时间；
u——速度矢量。
u、v、w——速度矢量u在x、y和z方向的分量。
上面给出的是瞬态三维可压流体的质量守恒方程。若流体不可压，密度ρ为常数，式（2.4）变为：
（2.7）
若流动处于稳态，则密度ρ不随时间变化，式（2.4）变为：
（2.8）
质量守恒方程式（2.4）或式（2.5）称为连续方程。
2.2.2 动量守恒方程
动量守恒定律也是任何流动问题都必须满足的基本定律。该定律实际上是牛顿第二定律，可表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和。按照这一定律，可导出x、y和z三个方向的动量守恒方程：
（2.9a）
（2.9b）
（2.9c）
式中 p——流体微元体上的压力；
——因分子黏性作用而产生的作用在微元体表面上的黏性应力τ的分量；
Fx、Fy、Fz——微元体上的体积力，若体积力只有重力，且z轴竖直向上，则Fx=0，Fy=0，Fz=ρg。
式（2.9）是对任何类型的流体（包括非牛顿流体）均成立的动量守恒方程。对于牛顿流体，黏性应力τ与流体的变形率成比例，即
（2.10）
式中 μ——动力黏度；
λ——第二黏度，一般可取
。
将式（2.10）代入式（2.9），得
（2.11a）
（2.11b）
（2.11c）
式中，grad（）=∂（）/∂x+∂（）/∂y+∂（）/∂z；Su、Sv和Sw为动量守恒方程的广义源项，Su=Fx+sx，Sv=Fy+sy和Sw=Fz+sz，其中sx、sy和sz的表达式如下：
（2.12a）
（2.12b）
（2.12c）
一般来讲，sx、sy和sz是小量，对于黏性为常数的不可压流体，sx=sy=sz=0。
式（2.11）还可写成如下的展开形式：
（2.13a）
（2.13b）
（2.13c）
式（2.11）～式（2.13）为动量守恒方程，简称动量方程，也称为运动方程，还称为纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程（简称N-S方程）。
2.2.3 能量守恒方程
能量守恒定律是包含有热交换的流动问题必须满足的基本定律。该定律实际是热力学第一定律，可表述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流通量加上体积力与表面力对微元体所做的功。
流体的能量E通常是内能i、动能
和势能P三项之和，可对总能量E建立能量守恒方程。但是，这样得到的能量守恒方程并不是很好用，一般是从中扣除动能的变化，从而得到关于内能i的守恒方程。而内能i与温度T之间存在一定关系，即i=cpT，其中cp是定压比热容。这样，可得到以温度为变量的能量守恒方程：
（2.14）
式（2.14）还可写成展开形式：
（2.15）
式中 cp——定压比热容；
T——温度；
k——流体的传热系数；
ST——流体的内热源及由于黏性作用流体机械能转换为热能的部分，有时ST简称为黏性耗散项。
一般将式（2.14）或式（2.15）简称为能量方程。综合基本方程式（2.5）、式（2.11a）、式（2.11b）、式（2.11c）、式（2.14），共有u、v、w、p、T和ρ6个未知量，还需要补充一个联系p和ρ的状态方程，方程组才能封闭，即
（2.16）
对理想气体，状态方程为
（2.17）
式中 R——摩尔气体常数。
需要说明，虽然能量方程式（2.14）是流体流动与传热问题的基本控制方程，但对于不可压流动，若热交换量很小以至可以忽略，可不考虑能量守恒方程。这样，只需要联立求解连续方程式（2.5）及动量方程式（2.9a）、式（2.9b）和式（2.9c）。
注意：式（2.14）是针对牛顿流体得到出的，对于非牛顿流体应使用另外形式的能量方程。
2.2.4 组分质量守恒方程
在一个特定的系统中，可能存在质的交换，或者存在多种化学组分，每一种组分都需要遵守组分质量守恒定律。对于一个确定的系统而言，组分质量守恒定律可表述为：系统内某种化学组分质量对时间的变化率，等于通过系统界面净扩散通量与通过化学反应产生的该组分的生产率之和。
根据组分质量守恒定律，可写出组分s的组分质量守恒方程：
（2.18）
式中 cs——组分s的体积浓度；
ρcs——该组分的质量浓度；
Ds——该组分的扩散系数；
Ss——系统内部单位时间内单位体积通过化学反应产生的该组分的质量，即生产率。
式（2.18）等号左侧第一项、第二项分别称为时间变化率、对流项；等号右侧第一项、第二项分别称为扩散项、反应项。各组分质量守恒方程之和就是连续方程，因为∑Ss=0。因此，如果共有z个组分，那么只有z-1个独立的组分质量守恒方程。
将组分守恒方程各项展开，式（2.18）可改写为：
（2.19）
组分质量守恒方程常简称为组分方程。一种组分的质量守恒方程实际就是一个浓度传输方程。当水流或空气在流动过程中带有某种污染物质时，污染物质在流动情况下除有分子扩散外还会随流传输，即传输过程包括对流和扩散两部分，污染物质的浓度随时间和空间变化。因此，组分方程在有些情况下称为浓度传输方程，或浓度方程。
2.2.5 湍流的控制方程
湍流是自然界非常普遍的流动类型，湍流运动的特征是在运动过程中液体质点具有不断的互相混掺的现象，速度和压力等物理量在空间和时间上均具有随机性质的脉动值。
式（2.11）是三维瞬态N-S方程，无论对层流还是湍流都是适用的。但对于湍流，如果直接求解三维瞬态的N-S方程，需要采用对计算机内存和速度要求很高的直接模拟方法，但目前还不可能在实际工程中采用此方法。工程中广为采用的方法是对瞬态N-S方程做时间平均处理，同时补充反映湍流特性的湍流模型方程，如常用的湍流方程k-ε，即湍动能方程k和湍流耗散率方程ε等。
湍动能k方程为：
（2.20a）
湍流耗散率ε方程为：
（2.20b）
式中 σk、σε、C1；C2——常数；
μt——湍流黏度；
Cμ——常数。
2.2.6 控制方程的通用形式
为了便于对各控制方程进行分析，并用同一程序对各控制方程进行求解，现建立各基本控制方程的通用形式。
比较连续方程式（2.5）、动量方程式（2.11）、能量方程式（2.14）、组分方程式（2.18）和湍流方程式（2.20）等的控制方程，可以看出，尽管这些方程中因变量各不相同，但它们均反映了单位时间单位体积内物理量的守恒性质。如果用ϕ表示通用变量，则上述各控制方程都可以表示成如下的通用形式：
（2.21）
式（2.21）的展开形式为
（2.22）
式中 ϕ——通用变量，可以代表u、v、w、T等求解变量；
Γ——广义扩散系数；
S——广义源项。
式（2.21）中各项依次为瞬态项、对流项、扩散项和源项。对于特定的方程，ϕ、Γ和S具有特定的形式，表2.1给出了上述3个符号与各特定方程的对应关系。
所有控制方程都可经过适当的数学处理，将方程中的因变量、时变项、对流项和扩散项写成标准形式，然后将方程右端的其余各项集中在一起定义为源项，从而化为通用微分方程。只需考虑通用微分方程式（2.21）的数值解，写出求解式（2.21）的源程序，就足以求解不同类型的流体流动及传热问题。对于不同的ϕ，只要重复调用该程序，并给定Γ和S的适当表达式以及适当的初始条件和边界条件，便可求解。
表2.1 通用控制方程中各符号的具体形式
2.2.7 守恒型控制方程与非守恒型控制方程
在前面各基本控制方程及式（2.21）所代表的通用控制方程中，对流项均采用散度的形式表示，各物理量都在微分符号内。在许多文献中，这种形式的方程称为控制方程的守恒形式或守恒型控制方程。
近年来，在许多文献中还常见到非守恒型控制方程。将式（2.21）的瞬态项和对流项中的物理量从微分符号中移出，式（2.21）所代表的通用控制方程可写成为
（2.23）
式（2.23）即为通用控制方程的非守恒形式，或称非守恒型控制方程。
从微元体的角度看，控制方程的守恒型与非守恒型是等价的，都是物理守恒定律的数学表示。但对有限大小的计算体积，两个形式的控制方程是有区别的。非守恒型控制方程便于对由此生成的离散方程进行理论分析，而守恒型控制方程更能保持物理量守恒的性质，便于克服对流项非线性引起的问题，且便于采用非矩形网格离散，可更为方便地建立基于有限体积法的离散方程，因此得到了广泛的应用。
本书主要使用守恒型控制方程来建立基于有限体积法的离散方程。