1.2 到达曲线

1.2.1 到达曲线的定义

如果想要为数据流提供保证，就需要网络提供某些特定支持，这将在第1.3节进行介绍。相应地，还需要限制从源端发送的流量。在综合服务网络（ATM网络或综合服务互联网）中，采用如下表述定义到达曲线的概念。

定义1.2.1（到达曲线） 给定一个t≥0的广义递增函数α，称流R受到α的约束，当且仅当对于所有s≤t下式成立

R(t)−R(s)≤α(t−s)

也称α是R的到达曲线，或R是α-平滑的。

注意，该条件在一组重叠的时间间隔上都成立，如图1.3所示。

仿射到达曲线 例如，若α(t)=rt，则该约束表示在宽度为τ的任何时间窗口上，流的比特数受到rτ的限制。在这种情况下，称这条流受到峰值速率约束。已知到达链路的流受到物理比特率r的限制时，就将发生这种情况。这种只受到峰值速率约束的流通常（但并不恰当地）被称为“恒定比特率”（Constant Bit Rate,CBR）流或者“确定比特率”（Deterministic Bit Rate,DBR）流。

若将α(t)=b作为到达曲线，b为常数，则意味着该流发送的比特数最多等于b。

在更一般的情况下，由于到达曲线与漏桶（leaky bucket）模型的关系，通常使用仿射到达曲线γr,b，该曲线的定义为：当t>0时，γr,b(t)=rt+b；否则γr,b(t)=0。若将γr,b作为到达曲线，则意味着源端允许一次发送b bit，但在更长的周期内，速率不超过r bit/s。参数b和r分别被称为突发容限（以数据量为单位）和速率（以单位时间传输的数据量为单位）。这种约束如图1.3所示。

阶梯函数到达曲线 在ATM场景中，还可以采用kvT,τ形式的到达曲线，其中vT,τ(t)为阶梯函数，vT,τ(t)的定义为：当t>0时，；否则vT,τ(t)=0（相关说明请参见第3.1.3节）。注意，由于vT,τ(t)=vT,0(t+τ)，因此vT,τ(t)是由vT,0在坐标系中向左移动τ个时间单位得到的。参数T（间隔）和τ（容限）以时间为单位。为了更好地理解vT,τ(t)的使用方法，设想一条发送固定长度（等于k个数据单位）数据包的流（如一条ATM流），假设数据包间隔至少为T个时间单位，一个恒定比特率的语音编码器就是这样一个示例，它在通话突发期间周期性地生成数据包，否则保持沉默。这样的流就具有kvT,0形式的到达曲线。

接下来假设该流与其他流复用，可以简单地假设该流的数据包和其他流的数据包一起被放入队列，这种情况通常出现在工作站、操作系统或者ATM适配器中。排队强加了一部分可变延迟，假设这个可变延迟受到限制，限制值等于τ个时间单位，我们将在本章的后续部分特别是第2章中说明这些界限是如何得到的。将R(t)和R∗(t)分别作为流在多路复用器的输入和输出累积量函数，那么有R∗(s)≥R(s−τ)，据此可以得到

R∗(t)−R∗(s)≤R(t)−R(s−τ)≤kvT,0(t−s+τ)=kvT,τ(t−s)

因此，输出累积量函数R∗(t)的到达曲线为kvT,τ。至此，可以证明一条周期为T、数据包长度为k、经历了可变延迟小于等于τ的周期流具有kvT,τ形式的到达曲线。参数τ通常被称为“单点信元延迟可变量”（one-point cell delay variation），这是由于该参数对应于一条周期流在一个单独的节点可观察到的偏差。

通常情况下，函数vT,τ可以被用来表示数据包之间的最小间隔（minimum spacing），正如下面的命题所述。

命题1.2.1（到达约束间隔） 设想一条具有累积量函数R(t)的流，它生成具有k个数据单位的固定长度数据包，并且数据包是瞬时到达的。假设时间是离散或连续的，并且R(t)为左连续。令tn为第n个数据包的到达时刻，则以下两种属性是等价的。

属性1：对于所有的m、n，tm+n−tm≥nT−τ。

属性2：流量的到达曲线为kvT,τ。

数据包长度和数据包生成的条件意味着R(t)具有nk的形式，n∈N；间隔条件意味着前后两个数据包之间的时间间隔大于等于T−τ，中间被一个数据包隔开的两个数据包之间的时间间隔大于等于2T−τ，以此类推。

证明：假设属性1成立，考虑任意间隔(s,t]，令n为在某一时间间隔内到达的数据包个数，假设这些数据包编号为m+1,…,m+n，那么s<tm+1≤…≤tm+n≤t，因此可以得到

t−s>tm+n−tm+1

结合属性1，则有

t−s>(n−1)T−τ

根据vT,τ的定义，上式可以变为vT,τ(t−s)≥n。因此，R(t)−R(s)≤kvT,τ(t−s)，这样就完成了第一部分的证明，即如果属性1成立，则属性2也成立。

反过来，现在假设属性2成立，如果模型的时间是离散的，则可以利用式（1.2）中的映射将该模型的时间转换为连续的，因此可以认为该模型均处于连续时间的情况。考虑任意整数m、n，对于所有ε>0，根据命题的假设有

R(tm+n+ε)−R(tm)≥(n+1)k

因此，根据vT,τ(t)的定义可知

tm+n−tm+ε>nT−τ

由于上式对所有ε>0均成立，因此tm+n−tm>nT−τ。

本小节后续将阐明由仿射函数和阶梯函数定义的到达曲线的约束之间的关系。首先，这需要一个技术性的引理，即总是可以将到达曲线退化为左连续的。

引理1.2.1（退化为左连续的到达曲线） 设想一条具有累积量函数R(t)的流，以及t≥0时的一个广义递增函数α(t)。假设R是左连续或右连续的，用αl(t)表示α在t的左极限（由于α为广义递增函数，因此该极限在每个时间点上都存在），并且有。若α为R的到达曲线，则αl亦然。

证明：首先假设R(t)为左连续。对于某s<t，令tn为收敛于t的一组时间增序列，且s<tn≤t。由于R(tn)−R(s)≤α(tn−s)≤αl(t−s)，R为左连续，，因此R(t)−R(s)≤αl(t−s)。

若R(t)为右连续的，令sn为收敛于上述s的一组时间递减序列，且s≤sn<t。类似地，有R(t)−R(sn)≤α(t−sn)≤αl(t−s)以及成立。因此，R(t)−R(s)≤αl(t−s)。

基于上述引理，到达曲线总是可以简化为左连续的[4]，注意，γr,b和vT,τ均为左连续的。此外，本书按照惯例假设累积量函数[如R(t)]为左连续的；然而这纯粹只是依照惯例，读者仍然可以选择右连续的累积量函数。相反，到达曲线总是只能设为左连续，而不是右连续。

在某些情况下，由γr,b和vT,τ定义的约束存在着等价关系。例如，一条ATM流（流的每个数据包长度是固定的，与一个数据单元相等）受到γr,b的约束，其中且b=1，等效于受到达曲线vT,0的约束。通常情况下，可以得到以下命题。

命题1.2.2 设想一条左连续或右连续的流R(t)，t∈R+；或一条离散时间的流R(t)，t∈N+，这条流生成具有k个数据单元的固定长度数据包，并且数据包是瞬时到达的。对于给定的T和τ，令及，则R受到γr,b的约束与R受到kvT,τ的约束是等价的。

证明：由于任意离散时间的流都可以转化为左连续的连续时间的流，因此这里只需考虑左连续的流R(t)，t∈R+。另外，不失一般性地，令k=1，即将数据单元设为一个数据包的长度。那么通过命题1.2.2中的参数映射，总是存在vT,τ≤γr,b。因此，如果vT,τ是R的到达曲线，那么γr,b亦是。

反过来，若假设γr,b为R的到达曲线。那么对于所有s≤t，都有R(t)−R(s)≤rt+b。又由于R(t)−R(s)∈N，因此可以得到R(t)−R(s)≤rt+b。令α(t)=rt+b，利用引理1.2.1，可以得到αi(t)=rt+b−1=vT,r(t)。

值得注意的是，这种等价关系成立的前提条件为数据包长度固定，且等于kvT,τ约束中的阶跃度（step size）。而在通常情况下，两族到达曲线给出的约束并不相同。例如，设想一条数据包长度为1个数据单位的ATM流，该条流受到形式为kvT,τ（k>1）的到达曲线的约束，而这条流可能是由多条ATM流叠加而成的。因此，该约束kvT,τ并不能映射成形式为γr,b的约束。第1.4.1节中将回顾这个例子。

1.2.2 漏桶模型和通用信元速率算法

到达曲线约束的起源可以追溯到漏桶模型和通用信元速率算法概念的提出。下面将证明漏桶模型中的控制器（漏桶控制器）对应仿射到达曲线γr,b，而通用信元速率算法对应阶梯函数vT,τ。对于具有固定数据包长度的流，如ATM信元，两者是等价的。

定义1.2.2（漏桶控制器） 漏桶控制器是一种按照下述方式分析流R(t)数据的设备。假设有一个容量为b的流体桶（池），桶的初始状态为空。桶底有一个小孔，当桶非空时，流体以每秒r个单位的速率漏出，如图1.4(a)所示。

来自流R(t)的数据必须向桶中倒入与数据量相等的流体。导致漏桶溢出的数据被称为不符合（non-conformant）数据，否则被称为符合（conformant）数据。

图1.4的说明：图1.4(a)给出了上述定义的示意，漏桶模型中的流体并不代表数据，然而它与数据使用相同的计量单位。图1.4(b)中的粗虚线表示输入流体在漏桶中的高度x(t)。首先假设r=0.4 kbit/时刻，b=1.5 kbit。那么，在时刻t=8.6，到达的数据包导致的流体累加将超过b=1.5 kbit，因此该数据包为不符合数据，此时不会有新的流体倒入漏桶。而如果假设b=2 kbit，那么所有数据包都将是符合数据。

不能将流体倒入漏桶的数据称为不符合数据。对于ATM系统，要么丢弃不符合数据，将其标记为低优先级以表示丢弃（所谓的“红色”信元）；要么将其放入缓冲区（缓冲漏桶控制器）。对于综合服务互联网，原则上不标记不符合数据，只是简单地将其流量类型设置为尽力传输（普通的IP流量）。

接下来将证明漏桶控制器将到达曲线强制约束为γr,b，首先给出以下引理。

引理1.2.2 设想一个以恒定比特率r提供服务的缓冲器。假设在时刻0，缓冲区为空，输入由累积量函数R(t)描述。若在时间区间[0,t]内没有流量溢出，则在时刻t的缓冲量由下式给出

证明：该引理可以通过推论1.5.2获得，但是在此给出直接证明。对于所有满足s≤t的s，r(t−s)为在区间(s,t]输出比特数的上界，因此

R(t)−R(s)−x(t)+x(s)≤(t−s)r

那么

x(t)≥R(t)−R(s)+x(s)−(t−s)r≥R(t)−R(s)−(t−s)r

也就证明了。

反过来，令t0为在时刻t之前缓冲区为空的最迟时刻，即

t0=sup{s:s≤t,x(s)=0}

若x(t)>0，则t0为t所在繁忙时段的开始时刻。那么，在区间(t0,t]内，队列一直为非空。由于输出的比特率为r，因此有

x(t)=x(t0)+R(t)−R(t0)−(t−t0)r （1.3）

假设R(t)为左连续的（否则证明会复杂一些），那么x(t0)=0，并且x(t)≤。

现在如果使漏桶模型的行为完全类似于容量为b且以恒定比特率r提供服务的缓冲区，则需满足流的累积量函数R(t)的数据是符合数据，即当且仅当漏桶高度x(t)在任意时刻不会超过b。根据引理1.2.2，需满足

即等价于对于所有s≤t，满足

R(t)−R(s)−r(t−s)≤b

因此，得出以下命题。

命题1.2.3 泄漏速率为r且容量为b的漏桶控制器会强制流量受到达曲线γr,b的约束，即承载符合数据的流具有到达曲线γr,b；若输入流量的到达曲线为γr,b，则流量的所有数据均为符合数据。

第1.4.1节将对漏桶模型的参数给出一个简单的解释，即r为服务流量所需的最小速率，b为以恒定速率向流提供服务时所需缓冲区的大小。

与漏桶模型概念大致相同的另一组模型是与ATM一起使用的通用信元速率算法（Generic Cell Rate Algorithm,GCRA）。

定义1.2.3[GCRA(T,τ)] 带有参数T和τ的通用信元速率算法用于固定长度数据包（称为“信元”）。与之一致的信元有如下定义，以信元的到达时刻t作为输入并返回结果，那么它具有一个内部（静态）变量的理论到达时刻（theoretical arrival time,tat）。在下面的算法伪码中，“τ”用tau表示。

● initially,tat=0

● when a cell arrives at time t,then

表1.1和表1.2的示例对GCRA的定义进行了说明，表中给出信元的到达时刻、信元到达之前内部变量tat的值以及信元状态（符合或不符合）。从表1.1和表1.2中可以看出，流量可以维持的长期速率为1/T（单位时间内的信元）；而τ表示容限，用于量化两个信元相对于理想间隔T可以提前到达的上限。例如，在表1.1的示例中，假设信元可以提早两个时间单位到达（到达时刻为从18到48的信元），但提前到达的信元不计入累积量，否则流量的到达速率将超过1/T（到达时刻为57的信元）。

通常会得到下面的结果，它建立了GCRA与阶梯函数vT,τ(t)的关系。

命题1.2.4 设想一条具有累积量函数R(t)的流，它生成长度为k个数据单位的固定长度数据包，并且数据包是瞬时到达的。设时间是离散或连续的，并且R(t)是左连续的，则以下两种属性等价。

属性1：流符合GCRA(T,τ)。

属性2：流的到达曲线为kvT,τ。

证明：命题的证明涉及最大加代数。首先假设属性1成立。θn表示第n个数据包（或信元）到达后的tat值，且θ0=0；tn表示第n个数据包的到达时刻。根据GCRA的定义，有θn=max{tn,θn−1}+T。将该等式应用于所有m≤n，并用符号∨表示求最大，根据∨的加法分配律可得到下列一组等式。

此外，由于θ0=0且t1≥0，有(θ0+nT)∨(t1+nT)=t1+nT，因此上面最后一个等式可以简化为θ1+(n−1)T=t1+nT。从最后一个等式开始，依次将等式迭代到前一个等式上，可得

θn=(tn+T)∨(tn−1+2T)∨…∨(t1+nT) （1.4）

现在考虑第(m+n)个数据包的到达时刻（m,n∈N，且m≥1），根据属性1，该数据包为符合数据，因此有

tm+n≥θm+n−1−τ （1.5）

根据式（1.4），对于任意1≤j≤m+n−1，有θm+n−1≥tj+(m+n−j)T。那么，令j=m，则可以得到θm+n-1≥tm+nT，再结合式（1.5），得出tm+n≥tm+nT−τ。根据命题1.2.1可知属性2成立。

反过来，假设属性2成立。利用数学归纳法证明第n个数据包是符合数据。首先当n=1时，总是有tm+1≥tm+T−τ成立，因此数据包总是符合数据，属性1成立；假设对于任意m≤n的数据包是符合数据，那么按照上述推导思路，式（1.4）对n成立，并将其改写为的形式。根据命题1.2.1可知，对于任意1≤j≤n，tn+1≥tj+(n−j+1)T−τ成立，因此。再结合上述θn的表达式，可以得到tn+1≥θn−τ，因此第(n+1)个数据包也是符合数据。

注意式（1.4）与引理1.2.2的类比。实际上，根据命题1.2.2，对于固定长度数据包，仿射函数γr,b(t)的到达约束和阶梯函数vT,τ(t)的到达约束具有等价关系，并给出以下推论。

推论1.2.1 对于一条具有固定长度数据包的流，满足GCRA(T,τ)等价于满足漏桶控制器，其中恒定比特率r和突发容限b为：

式中，δ是以数据单位表示的数据包的长度。

推论1.2.1也能够通过GCRA将漏桶控制器直接等价表示出来。将ATM信元作为数据单位，上述结果表明：对于一条ATM信元流，符合GCRA(T,τ)等价于将vT,τ(t)作为到达曲线，也等价于将作为到达曲线。

设想一组数量为I的漏桶控制器（或GCRA），其参数分别为ri、bi，对于任意i具有1≤i≤I。如果将它们并行地用于同一条流，则这条流的符合数据对于每个独立的漏桶控制器都是符合的。这条具有符合数据的流的到达曲线为

由此能够容易地表明，以这种方式获得的到达曲线族是一组分段线性凹函数，包括有限数量的分段。第1.5节将给出一些不属于该族的函数示例。

在ATM网络和互联网上的应用 漏桶模型和GCRA被用于定义与综合服务网络中流量相符的标准模型。ATM的恒定比特率连接由一个参数为T和τ的GCRA（或等效的漏桶模型）定义，T为理想信元间隔，τ被称为信元延迟可变容限（Cell Delay Variation Tolerance,CDVT）。ATM的可变比特率（Variable Bit Rate,VBR）连接由一条对应于两个漏桶模型或GCRA控制器的到达曲线定义；综合服务网络框架也使用相同的到达曲线族，例如

α(t)=min{M+pt,rt+b} （1.6）

其中，M表示最大数据包的长度，p表示峰值速率，b表示突发容限，r表示可持续速率，如图1.5所示。在综合服务互联网的术语中，四元组(p,M,r,b)也被称为流量规范（T-SPEC）。

1.2.3 次可加性和到达曲线

本节对最小加代数和到达曲线的关系进行讨论，首先以一个具有启发性的例子展开讨论。

设想一条流R(t)∈N，t∈N（例如一条ATM信元流，以信元计数）。为了简化讨论，可以认为时间是离散的。假设已知这条流受到达曲线的约束为3v10,0，例如这条流是由3条恒定比特率连接叠加而成的，每条恒定比特率连接的峰值速率为每单位时间0.1个信元。此外，假设已知这条流以每单位时间1个信元的物理特性在某条链路上到达观测点，这样能够总结出该流还受到达曲线的约束为v1,0。因此，显然它受到的约束可被表示为α1=min{3v10,0,v1,0}，如图1.6所示。

图1.6的说明：图1.6(a)为到达曲线α1=min{3v10,0,v1,0}，它的次可加闭包（良态函数，good function）如图1.6(b)所示。时间为离散的，图中的线段可方便读者观察。

通过到达曲线α1可知，R(10)≤3，R(11)≤6。然而，由于链路的约束，单位时间内最多只能有1个信元到达，因此也可以得出R(11)≤R(10)+[R(11)−R(10)]≤α1(10)+α1(1)=4。换言之，R受到α1的约束，然而可以得到比α1本身更优的上界。这是因为根据上述用例可以看出，α1不是一个良态函数。

定义1.2.4 设想函数α∈F，若其满足以下任一等价属性，则可以说α为良态函数。

属性1 α是次可加（sub-additive）的，且α(0)=0；

属性2 α=α⊗α；

属性3 ；

属性4 （α的次可加闭包）。

该定义使用了第3章中定义的次可加性、最小加卷积、最小加解卷积（min-plus deconvolution）和次可加闭包，上述4项属性的等价性来自推论3.1.1和推论3.1.13。次可加性（属性1）表示α(s+t)≤α(s)+α(t)。若α不是次可加的，那么α(s)+α(t)就可能是比α(s+t)还好的界限，如图1.6(a)中α1所示。属性2、3、4利用了第3章中定义的最小加卷积、最小加解卷积和次可加闭包，特别根据定理3.1.10 可知，函数α的次可加闭包是满足的最大良态函数；此外，若α∈F，则。

关于到达曲线的主要结论是：任何到达曲线都可以由其次可加闭包表示的良态到达曲线所替代。如图1.6(b)中所示。

定理1.2.1（到达曲线退化为次可加闭包曲线） 若一条流被一个广义递增函数α约束，则等价于该条流被该函数的次可加闭包所约束。

下面给出定理的相关证明，该证明可以体现到达曲线概念的核心，即与最小加代数中线性关系的理论基础有关。

引理1.2.3 当且仅当R≤R⊗α时，流R受到达曲线α的约束。

证明：R≤R⊗α表示对于∀t，R(t)≤(R⊗α)(t)。最小加卷积R⊗α在第3章中进行了定义。由于R(s)和α(s)的定义仅对于s≥0成立，因此R⊗α满足。从而，∀s∈[0,t]，R≤R⊗α与R(t)≤R(s)+α(t−s)等价。

引理1.2.4 若α1和α2均为流R的到达曲线，那么α1⊗α2也为流R的到达曲线。

证明：根据第3章可知，若α1和α2为广义递增函数，则α1⊗α2亦是。余下部分的证明可以直接根据引理1.2.3以及“⊗”的结合律得出。

定理1.2.1的证明：由于α为到达曲线，因此根据引理1.2.4，α⊗α亦是到达曲线；通过迭代，对于所有n≥1，α(n)同样是到达曲线；根据δ0的定义，δ0亦是到达曲线。因此次可加闭包也是到达曲线。

反过来，由于，因此，若为到达曲线，则α亦是。

例：因此应将到达曲线的选择限制为次可加函数。可以预测第1.2.1节中给出的γr,b和vT,τ函数是次可加的。另外，由于t=0时，它们的函数值为0，因此它们为良态函数（根据定义1.2.4，属性1）。根据第1章的内容可知，任意α(0)=0的凹函数α都是次可加的，因此γr,b为次可加的。

函数vT,τ不是凹函数，但它仍然是次可加的。这是因为根据其定义，上取整函数为次可加的，这样有

回到开始的例子α1=min{3v10,0,v1,0}，正如文中所讨论的，α1不是次可加的。根据定理1.2.1，可以通过式（3.13），将α1替换为它的次可加闭包，该计算通过以下引理得以简化，引理可以直接由定理3.1.11得出。

引理1.2.5 令γ1和γ2为良态函数，则min{γ1,γ2}的次可加闭包为γ1⊗γ2。

若将上述引理应用于α1=min{3v10,0∧v1,0}，由于vT,τ为良态函数，因此α1的次可加闭包为，如图1.6所示。

最后讨论等价命题，由于该命题的证明很简单，因此留给读者自行证明。

命题1.2.5 对于一个给定的α(0)=0的广义增函数α，考虑其定义的源为R(t)=α(t)（贪婪源，greedy source）。当且仅当α为良态函数时，α可作为源的到达曲线。

VBR到达曲线 测试通过漏桶或GCRA组合获得的到达曲线族，这些到达曲线是凹分段线性函数。根据第3章可知，如果γ1和γ2为凹函数，且满足γ1(0)=γ2(0)=0，那么γ1⊗γ2=γ1∧γ2。因此，任何满足α(0)=0的凹分段线性函数均为良态函数。特别地，若通过以下方式定义VBR连接或综合服务流的到达曲线，有

如图1.5所示，则α为良态函数。

从引理1.2.1可以看出，到达曲线α总是可以由其左极限αl代替。那么它应该如何与次可加闭包进行组合？这两种操作是否满足交换律[是否满足]？通常情况下，若α为左连续的，那么不能保证也是左连续的，因此无法保证操作的可交换性。然而，如果为良态函数，则有。因此，首先对到达曲线α取次可加闭包，然后取左极限进行改进，得到的到达曲线为良态函数，也是左连续函数（极良态函数），并且由α产生的约束等同于由产生的约束。

最后，利用一致连续性的论据可以很容易地证明：如果α在任何有界时间间隔内的取值是有限的，并且α是左连续的，那么也是左连续的，并且有。这个假设在离散时间内是始终正确的，并且在大多数实际情况下也是如此。

1.2.4 最小到达曲线

现在设想一条给定的流R(t)，应该确定它的最小到达曲线。例如，当R的流量值是通过测量得到的，就会引出如何确定最小到达曲线的问题。下面的定理说明R(t)存在一条最小到达曲线。

定理1.2.2（最小到达曲线） 给定一条流R(t)t≥0，那么：

● 函数是该流的到达曲线；

● 对于任何一条可以约束流的到达曲线α，总有；

● 是一个良态函数。

称函数为流R的最小到达曲线。

最小到达曲线的定义使用了第3章中定义的最小加解卷积。图1.7展示了一个例子，测量得到流R的最小到达曲线为。

证明：通过的定义，有，满足是一条到达曲线。

现在假设某条到达曲线α也是流R的到达曲线。由引理1.2.3可知，R≤(R⊗α)。根据第3章定理3.1.12的规则14，有。表明是流R的最小到达曲线。最后，根据定理3.1.12的规则15，可知是一个良态函数。

设想一个贪婪源R(t)=α(t)，α为良态函数，那么其最小到达曲线是什么？[5] 最后，好奇的读者或许想要知道是否是左连续的，证明如下。假设R是右连续或左连续的，根据引理1.2.1可知，的左极限也是一条到达曲线，并且其上界为。由于是最小到达曲线，它遵循，因此是左连续的（并且为良态函数）。

在很多情况下，我们并不关心此处给出的绝对最小到达曲线，而是关心在一族到达曲线中[例如，在所有γr,b(t)函数中]找到最小到达曲线。关于这方面的研究，请参阅参考文献[4]。

图1.7的说明：时间为离散的，且设单位时间为40 ms。图1.7(a)和图1.7(b)给出了2种MPEG视频流的迹线，该迹线以各时隙中数据帧到达数量的数据绘制而成，两种迹线看上去很像，但它们所对应的服务曲线不同，每个数据帧具有固定帧长（416 Byte）。图1.7(c)显示了第一条迹线和第二条迹线的最小到达曲线。第一条迹线中的大突发度出现较早，因此其最小到达曲线较大。