5.1 协变路径积分量子化
自由场理论的作用量为
(5.1.1)
当约束存在时,它描述自由弦的传播,其库仑规范形式的作用量是
(5.1.2)
我们以在其他规范不变理论的量子化过程中使用过的方法对式(5.1.2)进行量子化,以下面的欧氏路径积分开始:
(5.1.3)
5.1.1 法捷耶夫-波波夫幽灵
法捷耶夫-波波夫幽灵记作F-P幽灵。符号表示遍及3个独立分量、的积分,需要为这个积分定义一个精确的测度,并且异常可能出现。为了维持式(5.1.3)的对称性,尚无令人满意的方法来定义测度。由于存在3个规范不变量,即两个再参量化参数和一个外尔标度,所以需要选取一个规范切片,为的3个函数中的每一个做一个特殊选择。通常的规范选择为
(5.1.4)
在光锥规范中式(5.1.2)意味着:
(5.1.5)
在世界片再参量化之下,,规范条件式(5.1.3)变换为
(5.1.6)
证明:设有穷小坐标变换为,其中是协变导数,包括克里斯托菲算符。故。当α=β=“++”时得
同理可得
在路径积分中,设定规范条件的程序,如式(5.1.3)。令G是弦世界片的再参量化群,Dg表示遍及群流形的积分,表示h被再参量化g转换了的度规。路径积分中的基本工具是
(5.1.7)
式中,因子是通常库仑规范的行列式,因此积分需要等于1。库仑规范路径积分的下一步是在式(5.1.7)形式的路径积分式(5.1.3)中嵌入1。这给出:
(5.1.8)
因为S是再参量化不变量,S[h,X]=S[hg,X],所以式(5.1.8)中的被积函数在组合中仅依赖于h和g。因此,我们制造一个积分变量g和h与g和关联的机会,并丢弃积分。现在该积分仅贡献一个无限乘法因子。于是得
(5.1.9)
式中,δ函数容易处理,它们意味着积分约简为上的一个积分,或者在式(5.1.4)中定义的ϕ上等价。处理式(5.1.9)中的行列式更棘手。通常的方法是将行列式表示为反对易“幽灵”和“反幽灵”的积分。需要的公式可由来决定。显然有
(5.1.10)
对于+→-也一样。式(5.1.10)中的δ函数恰是坐标空间中的等量算符,、的行列式正是处理式(5.1.9)中的行列式所需要的。因此,为了表示式(5.1.9)的第一个行列式,引入一个反对易“幽灵”和一个“反幽灵”,其对易关系是
(5.1.11)
并且写出(在标准化中吸收因子2):
(5.1.12)
式(5.1.9)的第二个行列式表达为遍及“幽灵”和“反幽灵”的积分,即
(5.1.13)
用式(5.1.9)中的δ函数求解h,h是由式(5.1.4)中保形因子ϕ定义的,而库仑规范路径积分变为
(5.1.14)
式中,作用量S包括式(5.1.12)、式(5.1.13)中定义的和式(5.1.1)自由场中有关的幽灵项。
接下来,讨论式(5.1.14)中的Dϕ积分。式(5.1.14)中的被积函数独立于ϕ,故Dϕ积分仅给出了一个无关紧要的覆盖全体的无限因子。事实上,由于正则化问题,ϕ的去耦只适用于26-维时空。这里共形异常消除。然而,验证这种结论需要某些工具,我们还没有发展出来。我们暂时简单地假定Dϕ积分可以丢弃,而研究包括“鬼魂”在内的相关理论。首先证明,如果包括“鬼魂”的贡献,在26-维时空中维拉宿代数中的c-数异常消失。然后在5.2.3中我们证明,对于ϕ在26-维时空中的解耦,这是等价的。式(5.1.14)中的积分在物理上可能是合乎情理的,即使ϕ依赖不能抵消。这种可能性激发了一些非常巧妙的建议,但是保留了不确定性。在任何情况下,对于超弦的统一,ϕ依赖在其中消失的临界维数都是首选。本书中,我们不纠缠临界维数之外的超弦理论分析。
5.1.2 复世界片张量计算
在试图理解幽灵之前,在共形形式的二维度规中,理解黎曼几何的基本公式很有用。使用欧几里得几何语言讨论欧氏度规的弦世界片,虽非至关重要,却会带来很多方便。根据欧氏化的公式可以直接得达闵可夫斯基化的公式,反之亦然。这对以后发展欧几里得绘景好像是至关重要的,因为这将导致黎曼几何和复分析。世界片的度规至少局域放到了形式中,自然引入复坐标及其复共轭。当使用闵可夫斯基的世界片时,我们已经参考了早先的z和,如同。在z和坐标系中,矢量的分量是
(5.1.15)
进而,偏导的分量是
(5.1.16)
度规分量是和。不变线元是
(5.1.17)
证明:因为前面引入的复坐标是,其复共轭是,所以有,。因此线元为
指标的升降规则为
(5.1.18)
坐标的变化为z→,其中是z的全纯函数,保持了度规的共形平直形式。它简单地派生出:
(5.1.19)
式中,。一般地,一个张量有全纯指标上、下,以及反全纯指标上、下,其变换按照
(5.1.20)
进行,参考了全纯(反全纯)张量t的共形维。全纯(反全纯)张量通常可以丢弃而不会引起混淆。全纯函数是复分析研究的主要课题。在复平面C中取值的函数,在每点复可微,表示函数无穷可微并可以用它的泰勒级数描述。解析函数经常可以和全纯函数互相交换使用。一个在整个复平面上全纯的函数称为整函数。在一点a全纯表示在a点可微,也表示某个中心为a的复平面的开邻域可微。双全纯表示一个有全纯逆函数的全纯函数。当且仅当一个复函数全纯时,满足柯西-黎曼方程。z的所有复系数多项式函数、三角函数、指数函数也是全纯函数。若一个张量的元素都是全纯函数,则该张量称为全纯张量。
在通常的方法中,我们用克里斯托菲联络定义张量的协变导数:
(5.1.21)
黎曼曲率张量按照惯例定义为
(5.1.22)
关于共形平直度规的克里斯托菲联络的非零分量仅有
(5.1.23)
(5.1.24)
因此,具有n下或者上“+”指标的张量有
(5.1.25)
(5.1.26)
它们遵守:
(5.1.27)
由此可读出关于共形平直度规的二维曲率标量为
(5.1.28)
现在,我们重新考虑关于幽灵c和反幽灵b的法捷耶夫-波波夫幽灵作用量。我们以对任何世界片度规有意义的方法写出这个作用量,它不一定遵守保形规范。幽灵场可解释为矢量场的分量。反幽灵场可以解释为无迹对称张量的分量。反过来说,通常对称张量具有分量和,但是对无迹对称张量消失。幽灵作用量现在可以写作:
(5.1.29)
式中,幽灵场是逆变矢量场;反幽灵场是协变无迹对称张量。幽灵场b和c是反对易量,即格罗兹曼值。
如同3.3.3节所讨论的,世界片的能量-动量张量定义为
(5.1.30)
在利用式(5.1.27)推断幽灵的贡献时,必须包括式(5.1.29)中克里斯托菲联络的贡献。此外,无迹的必须计算在内。考虑到这些因素,幽灵对能量-动量张量的贡献为
(5.1.31)
式中,圆括号表示封闭的下标的对称性,如(αβ)=(βα);上标(c)表示幽灵的能量-动量张量。
作为无迹对称张量,在上面描述的复合基中仅有的分量是。同样适用于。例如:
(5.1.32)
我们也要注意在共形规范中式(5.1.29)简化为
(5.1.33)
这与之前定义的法捷耶夫-波波夫幽灵作用量完全一致。
5.1.3 幽灵的量子化
式(5.1.33)意指b和c具有规范反对易关系的共轭自由度,即
(5.1.34)
(5.1.35)
在共形规范中,其运动方程是
(5.1.36)
式中,共轭,共轭。开弦边界条件为在弦的端点处=,于是有
(5.1.37)
(5.1.38)
类似地,在弦的端点处要求,于是有
(5.1.39)
式中,是幽灵膜,应不与超弦玻色子区的反对易混淆。正则反对易关系是
(5.1.40)
(5.1.41)
对于闭弦,边界条件恰是σ的周期性,故、具有独立的模展开式,即
(5.1.42)
(5.1.43)
类似地,坐标包含模和。
这些公式中的b和c对称地进入,如和。因为在平直世界片上,幽灵拉格朗日对称地处理b和c,但在弯曲世界片上不是这样的,由式(5.1.29)可以明显地看出。同样,b和c并不对称地进入世界片能量-动量张量,这是由对于世界片度规的改变而导致的。即使在平直世界片上,由于它们以不同的方式在弯曲世界片上传播,能量-动量张量处理b和c的方式也不相同。由式(5.1.31)和式(5.1.32)可确定世界片能量-动量张量的分量的形式为
(5.1.44)
将模展开式嵌入,并且在τ=0处提取傅里叶模,对开弦给出维拉宿生成子:
(5.1.45)
式中,J=2是反幽灵的共形维数(幽灵c具有共形维数J=-1)。我们已经囊括了自由参数J,而不仅是J=2,稍后我们将分析系统中b和c被反对易场的维数J和(1-J)取代。一般地,规范序要求式(5.1.45)中的m=0,这时有
(5.1.46)
当然,对闭弦也有第二套幽灵维拉宿生成子。Lm满足通常的维拉宿代数:
(5.1.47)
式(5.1.47)具有异常项:
(5.1.48)
由此可以推导出:
(5.1.49)
证明:令,将其代入式(5.1.48)得
再令J=2,得
恰如第4章中所介绍的,确定异常的最简单、最安全的方法是评估特定的矩阵元。例如,
(5.1.50)
给定维拉宿算符模展开式[式(5.1.45)],我们可直接计算b和c的对易关系,而b、c的量化范围对于幽灵和反幽灵是不同的。例如,对开弦σ=0表达式
(5.1.51)
分别有共形维数J=-1和J=+2,因为
(5.1.52)
我们定义对应于S0+Sgh的完整的维拉宿生成子为
(5.1.53)
注意,我们已经改变了L0的早期定义,故第0个约束现在是L0=0。增加的幽灵和物质对异常的贡献是
(5.1.54)
显然仅当D=26、a=1时,A(m)=0,这时我们的理论才是共形不变的。