第一章 行列式

§1.1　行列式的概念

考虑由两个线性方程式构成的二元线性方程组

其中x 1,x 2为未知量,a11,a12,a21,a22为未知量的系数,b1,b2为常数项．用消元法解此线性方程组:第一个线性方程式乘以a 22,第二个线性方程式乘以a 12,然后相减;第二个线性方程式乘以a11,第一个线性方程式乘以a21,然后相减．得到

当a 11a 22－a12a 21≠0时,此线性方程组有唯一解

为了进一步揭示求解公式的规律,需要引进二阶行列式的概念．

记号,称为二阶行列式,其中a11,a12,a21,a22称为元素,这4个元素排成一个方阵,横排称为行,竖排称为列,二阶行列式共有两行两列．每个元素有两个脚标,第一脚标指明这个元素所在行的行数,称为行标;第二脚标指明这个元素所在列的列数,称为列标．在二阶行列式中,从左上角到右下角的对角线称为主对角线,从右上角到左下角的对角线称为次对角线．

二阶行列式的计算,可以用画线的方法记忆,即二阶行列式等于主对角线(实线)上两个元素的乘积减去次对角线(虚线)上两个元素的乘积,如图1-1．

图1-1

例1　二阶行列式

例2　二阶行列式

例3　填空题

若二阶行列式,则元素k＝_____．

解:计算二阶行列式

再从已知条件得到关系式，因此元素

于是应将“2”直接填在空内．

类似地,为了解由三个线性方程式构成的三元线性方程组,需要引进三阶行列式的概念．

记号称为三阶行列式,三阶行列式共有9个元素,它们排成三行三列,从左上角到右下角的对角线称为主对角线,从右上角到左下角的对角线称为次对角线．三阶行列式的计算,也可以用画线的方法记忆,如图1-2．

图1-2

例4　三阶行列式

例5　三阶行列式

例6　已知三阶行列式,求元素a的值．

解:计算三阶行列式

再从已知条件得到关系式(a－1)(a－3)＝0,所以元素

为了讨论n阶行列式,下面给出排列逆序数的概念．考虑由前n个正整数组成的数字不重复的排列j 1 j 2…j n中,若有较大的数排在较小的数的前面,则称它们构成一个逆序,并称逆序的总数为排列j 1 j 2…j n的逆序数,记作N(j 1 j 2…j n)．

容易知道,由1,2这两个数字组成排列的逆序数为

由1,2,3这三个数字组成排列的逆序数为

考察二阶行列式,它是2!＝2项的代数和,每项为来自不同行、不同列的2个元素乘积,前面取正号与取负号的项各占一半,即各为1项,可以适当交换每项中元素的次序,使得它们的行标按顺序排列,这时若相应列标排列逆序数为零,则这项前面取正号;若相应列标排列逆序数为奇数,则这项前面取负号．

再考察三阶行列式,它是3!＝6项的代数和,每项为来自不同行、不同列的3个元素乘积,前面取正号与取负号的项各占一半,即各为3项,可以适当交换每项中元素的次序,使得它们的行标按顺序排列,这时若相应列标排列逆序数为零或偶数,则这项前面取正号;若相应列标排列逆序数为奇数,则这项前面取负号．

根据上面考察得到的规律,给出n阶行列式的概念．

定义1.1　记号

称为n阶行列式,它是n!项的代数和,每项为来自不同行、不同列的n个元素乘积,可以适当交换每项中元素的次序,使得它们的行标按顺序排列,这时若相应列标排列逆序数为零或偶数,则这项前面取正号;若相应列标排列逆序数为奇数,则这项前面取负号．

n阶行列式共有n 2个元素,它们排成n行n列,从左上角到右下角的对角线称为主对角线,从右上角到左下角的对角线称为次对角线．容易知道:同一行的元素不可能乘在一起,同一列的元素也不可能乘在一起．可以证明:在n阶行列式中,前面取正号与取负号的项各占一半,即各为项．

行列式经常用大写字母D表示,或记作．特别规定一阶行列式

例7　问乘积a34a21 a42 a23是否是四阶行列式中的项?

解:在乘积a 34 a21 a42a 23中,元素a21与a 23的行标同为2,说明这两个元素皆来自第2行,所以乘积a34 a21a 42a 23不是四阶行列式D中的项．

例8　填空题

在四阶行列式中,项前面应取的正负号是_____．

解:适当交换所给项中元素的次序,使得它们的行标按顺序排列,得到

这时相应列标排列逆序数

是奇数,因而项a 31 a24 a43a 12前面应取负号,于是应将“负号”直接填在空内．

定义1.2　已知n阶行列式

将行列依次互换(第1行变成第1列,第2行变成第2列,…,第n行变成第n列),所得到的n阶行列式称为行列式D的转置行列式,记作

行列式D与它的转置行列式D T之间有什么关系?考察三阶行列式

容易看出:D T＝D,可以证明这个结论对于n阶行列式也是成立的．

定理1.1　转置行列式D T的值等于行列式D的值,即

定理1.1说明:在行列式中,行与列的地位是对等的．即:凡有关行的性质,对于列必然成立;凡有关列的性质,对于行也必然成立．

最后讨论一类最基本也是最重要的行列式即三角形行列式．

定义1.3　若行列式D主对角线以上或以下的元素全为零,则称行列式D为三角形行列式．

考虑三角形行列式

它当然等于n!项代数和,其中含有零因子的项一定等于零,可以不必考虑,所以只需考虑可能不为零的项．在这样的项中,必然有一个因子来自第1行,只能是元素a11;必然有一个因子来自第2行,有元素a21,a22可供选择,但元素a21与元素a11同在第1列,不能乘在一起,从而只能是元素a 22;…;必然有一个因子来自第n行,有元素an1,an2,…,ann可供选择,但元素an1与元素a11同在第1列,不能乘在一起,元素an2与元素a22同在第2列,不能乘在一起,…,从而只能是元素ann．这说明可能不为零的项只有一项a 11a 22…ann,行标已经按顺序排列,由于列标排列逆序数

所以项a11a 22…ann前面应取正号．那么,三角形行列式

同理,另一种三角形行列式

由此可知:三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积．

若行列式D主对角线以外的元素全为零,则称行列式D为对角形行列式,它是三角形行列式的特殊情况,它的值当然等于主对角线上元素的乘积,即

例9　n阶行列式