怎样用数表几何量

我们已经谈过：要用数来表几何量的大小，必先定一单位，看这几何量是单位量的多少倍，这倍数就是这几何量的测度。例如在下图中，假定△ABC的∠C是直角，∠B是∠A的两倍，那么根据定理：“直角三角形的一锐角是另一锐角的2倍时，斜边一定是短的直角边的2倍”，知道定α边的长为单位时——就是α边的测度为1，c边的测度一定是2。

但是，如果我们改定c边的长为单位，那么α边的测度就是1/2。可见量的大小虽一定，但它的测度却跟着单位而有不同，所以测度的数并不是绝对的。

在上举的实例中，c恰是α的整数倍——2倍，我们称c是α的倍量；掉过来说，α是c的约量。又设d是α的半分，那么α是d的倍量——2倍，c也是d的倍量——4倍，这d叫做是α和c的公约量（或公度）。

α和c既有公约量d，我们用d的长来量α，经两次而量尽；用d来量c，经4次而量尽。像这样，两个量能同时被它们的公约量所“量尽”，实际和算术里的两个数能同时被它们的公约数所“除尽”一样。这种有公约量的两个量，叫做可通约量（或可公度）。

两个量要有什么条件，才是可通约量呢？这一个问题很简单，可用下举的两例来说明：

〔例一〕有一长一短的两条线段，长的是1尺6寸，短的是2分，当用尺做单位，或寸做单位时，虽不能同时量尽，但用分做单位时。量长线段得160次，量短线段得2次，都可以量尽，这1分的长就是两线段的公约量。

〔例二〕同上，长线段是1寸，短线段是2/3寸，因为2/3可化成小数0.666……是永无穷尽的循环小数，所以无论用寸做单位，分做单位，厘或毫……做单位，都不能同时量尽。那么这两条线段是不是没有公约量呢？不，我们若用1/3寸做单位，量长线段得3次，量短线段得2次，全都量尽，可见它们有公约量1/3寸。

考查这两个例子中的每两个数，知道160/2=80，是一个整数½/3=3/2，是一个分数，这整数和分数总称做有理数，可见两个几何量的比是有理数的，它们一定是可通约量。

那么是不是任何两个几何量都是可通约量呢？要解决这一个问题，可参阅下面的例子：

设前图中的α边是单位长，测度是1，那么c边的测度是2，根据商高定理，得

这√3是一个记号，表示把整数3开平方，我们用算术的开平方法，计算得1.7321…，它的小数位数多到无穷，也不会循环。这样的数既不是整数，又不是分数，我们称它做无理数，这时的长线段b是1.7321…寸，短线段α是1寸，我们无论用寸、用分、用厘，以至用极小极小的单位去量，都不能同时量尽；再用几分之几寸，几分之几分……去量，也是一样。因而这两个几何量就没有公约量。

可见两个几何量的比是无理数——像上例中的b/α=√3/1=√3，一定没有公约量，可称做不可通约量（或不可公度）。

再假定拿前图中的b边作为单位长，从商高定理，得

(2α)²=α²+1，就是3α²=1。

解得α=⅓√3，c=⅔√3。

可见表某一几何量的数是不是有理数，也不是绝对的。同一几何量，因所用单位的不同，可能是有理数，也可能是无理数。虽然如此，但任何两个几何量的比，不论所用的单位怎样，总是一定的。看下面的一个表就可以明白。

把上述的各点总结一下，我们知道：

（1）表几何量的数——就是测度——是跟着单位而不同的。

（2）表几何量的数，有时是有理数，有时是无理数。

（3）两个几何量的比是有理数的，必有公约量，它们是可通约量。

（4）两个几何量的比是无理数的，没有公约量，它们是不可通约量。