2.6 向量内积：结果为标量
向量内积（inner product），又叫标量积（scalar product）、点积（dot product）、点乘。注意，向量内积的运算结果为标量，而非向量。
给定a和b两个等行数列向量，即
列向量a和b的内积定义为
式（2.34）也适用于两个等列数行向量计算内积。注意，向量内积也是一种“向量→标量”的运算规则。
图2.16所示的两个列向量a和b的内积为
图2.16 a和b两个平面向量
Bk4_Ch2_06.py计算上述向量内积。此外，还可以用numpy.dot（）计算向量内积。值得注意的是，如果输入为一维数组，则numpy.dot（）输出结果为内积。
如果输入为矩阵，则numpy.dot（）输出结果为矩阵乘积，相当于矩阵运算符@，如Bk4_Ch2_07.py给出的例子。
numpy.vdot（）函数也可以计算两个向量内积。如果输入是矩阵，则矩阵会按照先行后列顺序展开成向量之后，再计算向量内积。Bk4_Ch2_08.py给出相关示例。
常用的向量内积性质如下：
请读者格外注意以下几个向量内积运算和Σ求和运算的关系：
其中
本书第5章还会从矩阵乘法角度介绍更多求和运算。
几何视角
如图2.16所示，从几何角度看，向量内积相当于两个向量的模（L2范数）与它们之间夹角余弦值三者之积，即
注意：式（2.39）中θ代表向量a和b的“相对夹角”。
此外，向量内积还可以从投影（projection）角度来解释，这是本书第9章要介绍的内容。
a的L2范数也可以通过向量内积求得，即有
左右等式平方得到
式（2.41）相当于“距离的平方”。
柯西-施瓦茨不等式
观察，我们可以发现cosθ的取值范围为[−1, 1]，因此a和b内积的取值范围为
图2.17所示为7个不同向量的夹角状态。
θ=0°时，cosθ=1，a和b同向，此时向量内积最大；θ=180°时，cosθ=−1，a和b反向，此时向量内积最小。
平面上，非零向量a与b垂直，a与b夹角为90°，两者向量内积为0，即
多维向量a与b向量内积为0，我们称a与b正交（orthogonal）。本书上一章提到，正交是线性代数的概念，是垂直的推广。
图2.17 向量夹角
有了以上分析，我们就可以引入一个重要的不等式——柯西-施瓦茨不等式（Cauchy–Schwarz inequality）
即
其中：
为a与b向量内积的绝对值。
用尖括号来表达向量内积，可以写成
即
在
空间中，上述不等式等价于
余弦定理
回忆丛书第一本书讲解的余弦定理（law of cosines）
其中：a、b和c分别为图2.18所示三角形的三边的边长。下面，我们用余弦定理来推导式（2.39）。
如图2.18所示，将三角形三个边视作向量，将三个向量长度代入式（2.49），可以得到
向量a和b之差为向量c，即
图2.18 余弦定理
式（2.51）等式左右分别和自身计算向量内积，得到等式
整理得到
利用式（2.41），式（2.53）可以写作
比较式（2.50）和式（2.54），可以得到
在概率统计、数据分析、机器学习等领域，向量内积无处不在。下面举几个例子。
在多维空间中，给定A和B坐标为
计算A和B两点的距离AB为
用起点位于原点的向量a和b分别代表A和B点，AB距离就是a−b的L2范数，也就是欧几里得距离
回忆《数学要素》一册中介绍的样本方差公式，具体为
注意：对于总体方差，式（2.59）分母中的n–1应改为n。还默认X为有n个相等概率值的平均分布。
令x为
式（2.59）可以写成
根据广播原则，x−µ相当于向量x的每一个元素分别减去µ。
回忆总样本协方差公式
同样，对于总体协方差，式（2.62）分母中的n–1改为n即可。
同样利用向量内积运算法则，式（2.62）可以写成
本书第22章将从线性代数角度再和大家探讨概率统计的相关内容。