2.5 矩阵乘法第二视角
下面，我们聊一聊矩阵乘法的第二视角。
两个2×2矩阵相乘
还是以式（2.20）为例，A和B相乘，把左侧矩阵A写成两个列向量a1和a2，把右侧矩阵B写成两个行向量b（1）和b（2），即
这样AB乘积可以展开写成
在这个视角下，我们惊奇地发现矩阵乘法竟然变成了“加法”！
用符号代替数字，可以写成
更一般情况
将矩阵Am×p写成一系列左右排列的列向量，即
其中：列向量ai元素数量为m，即行数为m。
将矩阵Bp×n写成上下叠放的行向量，即
其中：行向量b（i）元素数量为n，即列数为n。
矩阵A和矩阵B相乘，可以展开写成p个m×n矩阵相加，即
我们可以把akb（k）的结果矩阵写成Ck，这样A和B的乘积C可以写成Ck（k=1, 2,…,p）之和，即
在这个视角下，矩阵的乘法变成了若干矩阵的叠加。这是一个非常重要的视角，数据科学和机器学习很多算法都离不开它。
热图
图2.12所示给出的是图2.11所示矩阵乘法第二视角的热图。图2.12中三个形状相同矩阵C1、C2、C3相加得到C。
图2.12 矩阵乘法第二视角
如图2.13所示，从图像角度来看，好比若干形状相同的图片，经过层层叠加，最后获得了一幅完整的热图。式（2.38）中的p决定了参与叠加的矩阵层数。矩阵乘法中，p所在维度被“消去”，这也相当于一种“压缩”。
图2.13 三幅图像叠加得到矩阵C热图
图2.14、图2.15、图2.16所示分别展示了如何获得图2.12中矩阵C1、C2、C3的热图。
鸢尾花书《矩阵力量》一册会讲解张量积。
图2.14 获得C1
图2.15 获得C2
图2.16 获得C3
观察热图可以发现一个有意思的现象，列向量乘行向量好像张起了一幅平面。张量积用的就是类似于图2.14、图2.15、图2.16的运算思路。
代码文件Bk3_Ch2_10.py中Bk3_Ch2_10_B部分为绘制图2.12。
主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是机器学习中重要的降维算法。这种算法可以把可能存在线性相关的数据转化成线性不相关的数据，并提取数据中的主要特征。
图2.17中，X为原始数据，X1、X2、X3分别为第一、第二、第三主成分。根据热图颜色色差可以看出：第一主成分解释了原始数据中最大的差异；第二成分则进一步解释剩余数据中最大的差异，以此类推。
图2.17实际上就是本节介绍的矩阵乘法第二视角。鸢尾花书会在《矩阵力量》《统计至简》《数据有道》三本书中以不同视角介绍主成分分析。
《矩阵力量》将从矩阵分解、空间、优化等视角讲解PCA；《统计至简》将从数据、中心化数据、Z分数、协方差矩阵、相关性系数矩阵这些统计视角来讨论PCA不同技术路线之间的差异；《数据有道》则侧重讲解如何在实践中使用PCA分析数据，并使用PCA结果进行回归分析。
图2.17 用数据热图叠加看主成分分析