第1讲 等份划分

第1节　折叠描痕法

把一个图形划分为大小相等、形状相同的几部分叫作图形的等份划分。那么，如何将一个图形划分成相同的几部分呢？这里介绍一种简单易行的方法——折叠描痕法。

【例1】　把正方形划分成相同的4部分。

解：具体划分方法如下图所示。

联想：还有别的折叠方法吗？

【例2】　把大等边三角形划分成相同的4部分，使每部分的形状都与原来的图形一样。

解：具体划分方法如下图所示。

第一步：左右对折，然后展开，将折痕描成虚线，虚线与底边的交点就是底边的中点。

第二步：将上角向下折叠，使该角的顶点与底边的中点重合。

第三步：按照与第二步相同的方法折叠左角和右角。

第四步：将这三个角展开，描画折痕。

联想：对于下图所示的一般三角形，能将其划分为相同的4部分吗？试试看！

【例3】　用折叠描痕法等分长方形纸条。

（1）对折1次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。

（2）对折2次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。

（3）对折3次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。

（4）对折4次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。

（5）对折5次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。

解：等分的份数如下图所示。

【例4】　将一张正方形纸片上下对折两次，然后左右对折两次，完成后展开描痕，看一看它被分成了多少个小正方形。

解：题意所述的折叠方法如下图所示。

这张正方形纸片最终被分成了16个小正方形，如下图所示。

【例5】　如下图所示，一个长方形由28个小正方形组成，请把它划分成形状相同、大小相等的4块，你能有多少种划分方法？

解：有多种划分方法，部分如下图所示。

提示：在本章中，如果一个图形通过平移、旋转或翻转后与另一个图形重合，则我们认为它们的形状相同，大小相等。

【例6】　用两条直线将正方形划分成形状相同、大小相等的4块，有多少种划分方法？

解：如下图所示，两条对角线一同旋转时，即可将正方形划分为4等份，因此有无数种划分方法。

【例7】　请想办法将正方形划分为形状相同、大小相等的20个直角三角形。

解：本题的难点在于将正方形划分的份数太多，因此我们很难想象通过一步完成。这里分为两步进行，先把大正方形划分为5个同样的长方形，然后将每个长方形划分为4个同样的直角三角形，如右图所示。

联想：一种更有趣的划分方式如下图所示，妙不可言，发人深思！

【例8】　请把下图所示的由15个小正方形组成的大长方形划分为3份，每一份剪开后都能折叠成一个无盖的立方体盒子。

解：首先应该弄清楚无盖立方体盒子的展开图是什么样子，即有多少种不同形式的“五连格”，然后才能从中选择符合题意要求的划分方法。下面给出了无盖立方体盒子的5种展开图。

经试验发现第一种和第四种展开图不能采用，因此本题唯一的划分方式如下图所示，所得的3种无盖立方体盒子的展开图为上述的第二种、第三种和第五种展开图。

【例9】　用剪刀沿下图中小方格的边界把4×4方格纸剪成形状和大小都相同的两部分，共有几种不同的剪法？

解：共有6种不同的剪法，如下图所示。注意，剪切线必须经过4×4方格纸的中心点才能使两部分的形状和大小完全相同，同时应注意对称性。

【例10】　在6×6方格纸的4个角各剪掉一个小方格，如右图所示。从一边的中点A开始，沿小方格的边画线，最终将方格纸分成形状相同、方格数相等的两部分，有几种不同的分法？（注意，如果一组图形通过平移、旋转或翻转可以与另一组图形重叠，则认为这两种方法是同一种分法。）

解：共有14种分法，如下图所示。