1.2.1　圆周率π的起源

圆形是生活中最常见的图形之一。例如，古代中国的马车车轮是圆形的，农田中也有圆田。为了生产生活的需要，需要对圆进行测量与计算，在计算圆的周长和面积的过程中，圆周率π随之产生。

在《九章算术》第一章“方田”中，前人提出了“半周半径相乘得积步”（积步：面积）的方法来计算圆的面积。若用S表示圆面积，r表示圆的半径，即为：。我们惊喜地发现，前人求圆面积的公式与今天圆面积的公式在形式上完全一致！但如果继续阅读《九章算术》便会发现，在“半周”的计算上，古人利用的是“周三径一”的求解方法，即，并非今天人们所熟知的。也就是说，最初古人对圆周率π的认识还不够精确。据《隋书》记载，刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗等人都早已发现了圆周率不够精确的问题，并尝试解决。其中最受后人推崇的，是刘徽创造性地提出了割圆术的方法。他从圆内接正六边形起步，通过分割、求和、再分割等步骤，使正多边形的面积与圆逐渐相合（图1.6），这样就可以利用正多边形的面积替代圆面积，计算出更为精确的圆周率。最终，刘徽利用逼近的思想计算到圆内接正3072边形，得到了π的近似值3.1416。

图1.6　正多边形

对于没有计算器的古人来说，笔算出这个结果已经很出色了，而南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之，更是着实让我们见识到了我国古代数学家的执着与智慧。据《隋书》记载，祖冲之得到圆周率的结果是：以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽（该值大于真实值），朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽（该值小于真实值），正数在盈朒二限之间。因此，祖冲之得到圆周率在3.1415926到3.1415927之间。可以发现，类似于自然数的计数单位（如个、十、百、千、万等），祖冲之清晰地表达了十进制的小数单位——尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，表述到小数点后七位。由此可见，中国古代人民对于小数的理解和表达都是深刻的，祖冲之求出的圆周率近似值的精确度，直到一千年后才被西方数学家超越。