第五节　电动势与闭合电路欧姆定律

本章前面几节研究的问题只涉及电路的一部分——部分电路，这一节将研究完整的电路——闭合电路中的电压、电流、功率等问题。

一、电源、电动势

电路中要形成持续的电流，电路两端必须维持有恒定的电压，能起这种作用的装置叫电源。电源的类型很多，电池是一种便于携带的直流电源，使用范围很广（参见阅读材料）。

电源有保持两极间有一定电压的作用。不同种类的电源，保持两极间有一定电压的本领不同，没有接入电路的电源，干电池可保持正、负极间有1.5V的电压，常用的铅蓄电池可保持两极间有2.0V的电压，可见电源两极间的电压值，是由电源本身的特性决定的。为此，物理学中引入了电动势的概念。电源的电动势，等于电源没有接入电路时两极间的电压。电源的电动势用符号E来表示，电动势的单位是V（伏特）。将理想电压表直接接在电源的两极上测出的电压就是电源的电动势。

电动势究竟反映了电源本身的什么特性呢？

从能量转化的观点来看，电源是把其他形式的能量转化成电能的装置。干电池、蓄电池把化学能转化成电能，发电机把机械能转化成电能。不同类型的电源把其他形式的能量转化为电能的本领是不同的。用电源的电动势来表示电源的这种特性。电动势在数值上等于电路中通过单位电荷量时电源所提供的电能。例如：干电池的电动势为1.5V，表示在干电池的电路中每通过1C的电荷量，干电池提供的电能为1.5J，铅蓄电池的电动势为2.0V，表示在铅蓄电池的电路中每通过1C的电荷量，蓄电池提供的电能为2.0J。

如果已知电源的电动势为E，从电源的电路中通过的电荷量为q时，电源提供的电能W为

W=qE　　（10-15）

电动势是标量，正如电流一样，规定在电源内部从负极到正极为电动势的方向。

二、闭合电路欧姆定律

把电源接入电路，形成闭合电路。闭合电路由两部分组成，一部分是电源外部的电路，叫外电路，外电路的电阻叫外电阻，用R表示；另一部分是电源内部的电路，叫内电路，电流通过内电路时，电源也会发热，所以内电路也有电阻，内电路的电阻叫电源的内阻，用r表示，如图10-22所示。

合上开关S，闭合电路中有电流通过时，在内外电路中，电源提供的电能转化为其他形式的能量，用W表示电源提供的电能W=Eq=EIt，W1表示外电路消耗的电能W1=I2Rt，W2表示内电路消耗的电能W2=I2rt，由能量守恒定律可知

W=W1+W2　　　即　　　EIt=I2Rt+I2rt

消去t，解出I可得

　　（10-16）

上式表示，闭合电路中的电流I跟电源电动势E成正比，跟内、外电路中的电阻之和（R+r）成反比，这个结论称作闭合电路的欧姆定律。

闭合电路欧姆定律是分析直流电路的重要依据。

当电路中有电流流过时，电路的内、外部分都有电压。下面研究电源电动势跟电路中各电压的关系。由式（10-16）得E=IR+Ir外电路电压用U表示，内电路电压用U'表示。由欧姆定律可知，U=IR，U'=Ir，则有

E=U+U'　　（10-17）

上式表明电源电动势等于外电路电压和内电路电压之和。外电路的电压也是电源正、负极之间的电压，故又称做路端电压。由式（10-17）可知，U'≠0时U＜E，即通常情况下路端电压低于电源的电动势。

【例题10-6】　在图10-23所示的电路中，电源电动势为1.5V，内阻为0.1Ω，外电路电阻为2.9Ω，求电路中的电流和路端电压。

解　已知E=1.5V　r=0.1Ω　R=2.9Ω

求电流I和路端电压U

由闭合电路欧姆定律可求出电流I

路端电压为

U=IR=0.5×2.9=1.45V

三、路端电压与负载电阻的关系

用电器都是接在外电路中的，一般用一个等效电阻R表示，称为电源的负载电阻，电源工作时的“有效”电压是路端电压，所以研究路端电压的变化规律是很重要的。

对于一个给定的电源，在一定的时间内可认为电动势E和内阻r是一定的。由式（10-16）可知，当负载电阻R改变时，电路中电流I要发生改变，路端电压U会随之改变，其关系可由式（10-17）变形而得

U=E-U'=E-Ir　　（10-18）

由式（10-16）和式（10-18）可得到端电压的变化规律。

当负载电阻R增大，电流I减小，内电压U'=Ir减小，路端电压U增大。作为特例，当电路断开时，R变为∞大，I=0，U'=0，U=E，即断路时电源的端电压等于电源的电动势。

当负载电阻R减小时，电流I增大，内电压U'=Ir增大，路端电压U减小。作为特例，当外电路短路时R=0，路端电压U=0，I=E/r叫做短路电流，由电动势与内阻决定。一般电源的内阻r很小，如干电池内阻小于1Ω，铅蓄电池内阻只有0.005～0.1Ω，所以短路电流很大，电流过大会烧坏电源，甚至会引起火灾。应避免电源短路。防止短路是安全用电的基本要求，为此照明电路和工厂的用电线路都要有短路保护。

图10-24是路端电压U与电路中电流I之间的关系曲线，也就是式（10-18）的函数图像，这种关系曲线反映了电源的特性，称为电源的外特性曲线，简称电源外特性。因为E和r是常量，所以它是一条向下倾斜的直线。当R变为无限大时，I=0，U=E，即该直线在纵轴上的截距就等于电源电动势。随着R的减小，I逐渐增大，U逐渐减小。直线倾斜的程度与内阻r有关，内阻r越大，其外特性越陡，r越小，外特性越平。

具有不变的电动势和较低内阻的电源称为电压源，大多数实际的电源如干电池、铅蓄电池及一般直流发电机都可视为电压源。若电压源的内阻r≈0，可忽略不计，即认为电源供给的电压总是等于电动势，其外特性是U=E的一条水平线图。如图10-24中虚线所示。作为一般用电设备所需的电源，多数是需要它输出较为稳定的电压，这就要求电源的内阻越小越好。

四、闭合电路中的功率

将式（10-17）E=U+U'两端乘以电流I，得到

EI=UI+U'I=I2R+I2r　　（10-19）

式中EI表示电源提供的电功率，I2R是负载电阻上消耗的热功率，I2r是内阻上消耗的热功率，上式表示电源提供的电能有一部分消耗在内阻上转化为电源的内能，其余部分输出到外电路中的负载上。

电源输出的功率P=UI=I2R也和负载电阻R有关，当R增大时，I减小，那么在什么情况下P为最大呢？由闭合电路欧姆定律可得

由上式可得P随R变化的规律，如图10-25所示。

当R=r时，输出功率P为最大值

　　（10-20）

即当负载电阻等于电源内阻时，电源的输出功率最大，这时称负载与电源匹配。匹配的概念在无线电技术中经常用到。

【例题10-7】　在图10-26中，R1=14Ω，R2=9Ω当开关S打到位置1时，电流表的示数为I1=0.2A，当开关S打到位置2时，电流表示数I2=0.3A，求电源的电动势E和内阻r。

解　根据闭合电路欧姆定律可列出方程组

代入数据

解得E=3V，r=1Ω

习　题

1.选择与填空题

（1）铅蓄电池的电动势为2V，这表示（　　）。

A.电路中每通过1C电荷量，电源把2 J的化学能转变为2J的电热

B.无论接不接入外电路，蓄电池两极间的电压都为2V

C.蓄电池在1s内将2J的化学能转变为电能

D.蓄电池将化学能转变为电能的本领比一节干电池（电动势为1.5V）的大

（2）下列关于电源电动势的说法正确的是（　　）。

A.电动势是用来反映电源将其他形式的能转化为电能本领大小的物理量

B.外电路断开时的路端电压等于电源电动势

C.用内电阻较大的电压表直接测量电源正负极之间的电压值约等于电源的电动势

D.外电路的总电阻越小，则路端电压越接近电源的电动势

2.电源的电动势为2.0V，外电路电阻R为9.0Ω时，路端电压为1.8 V，求电源的内阻r。

3.如图10-27所示，合上开关S，当电阻箱的电阻R1=14Ω时，电压表的示数U1=2.8V，当电阻箱的电阻调为R2=2Ω时，电压表的示数U2=2V，求电源的电动势E和内阻r。

4.许多人造卫星都用太阳能电池供电，太阳能电池由许多电池板组成。某电池板的开路电压是600μV，短路电流是30μA，求这块电池板的内阻。　

5.有一闭合电路，电源的电动势为12V，电源内阻为0.5Ω，负载电阻为2.5Ω，求①电源产生的电功率；②负载消耗的热功率；③内阻消耗的热功率；④该电源能够输出的最大功率。

6.某台发电机向500m远的用户单独供电，用户装有“220V，40W”的灯20盏，输电用的铜导线横截面积为S=10mm2，设20盏灯全部在正常使用，求

① 发电机的路端电压；

② 输电线路上消耗的热功率；

③ 发电机输出的电功率。

阅读材料　常用电源

工业上最重要的电源是发电机。它利用电磁感应现象把机械能变成电能，其基本原理将在第12章介绍。

容易制造、便于携带和安装因而用途广泛的电源是各类电池。它们有蓄电池、干电池（包括纽扣电池）、太阳能电池等，下面简述它们的构造和原理。

1.蓄电池

蓄电池是一种化学电源。各种化学电源的基本组成部分都是电解质溶液和插入其中的正、负电极。正、负电极是由不同的金属（或碳棒）做成。在负极进行氧化反应，释放出的电子经过外电路流入正极。正极接受电子后进行还原反应。此时氧化还原反应所释放的化学能就转变成了电路中消耗的电能。各种化学电源的不同就在于正、负极的材料和电解质不同。化学电源的组成通常以下列图式表达

负极|电解质|正极

常用的蓄电池是铅蓄电池。它的负极是铅板，正极是涂了一层过氧化铅（PbO2）的铅板，如图10-28所示。二者都浸到硫酸溶液中，因此，铅蓄电池的化学组成式是

Pb|H2SO4|PbO2

当外电路接通后，两极进行的化学反应如下。

在负极

在正极

这种蓄电池的电动势为2V。

蓄电池在使用时，蓄电池里的电能开始释放。随着电能的继续释放，蓄电池里的电解质内的硫酸浓度不断减小。当浓度小于一定值时，电动势将明显低于2V。这时不能继续使用。要想继续使用，必须对蓄电池进行充电，充电时用另外的电源使电流沿相反的方向通过蓄电池。这时在正、负极会进行上述化学反应的逆反应，从而使两极板以及溶液中硫酸的浓度都恢复到原来的情况，此后蓄电池就能作为电源继续使用，既能放电，又能充电，也就是说能够进行可逆的反应，这就是蓄电池的特点和优点。注意，此处说的放电和充电并不是增加或减少了电池内的正的或负的电荷，而是增加或减少了蓄电池所储存的化学能。

除实验室外，使用蓄电池最多的地方是汽车。汽车上的蓄电池6个装在一起，可以产生12V的电动势。这一个蓄电池组储存的能量约1.8×106J（即0.5kW·h）。作为潜水艇动力用的蓄电池组可以重几百吨，储存的能量可达1.8×1010J（即5×103kW·h）。

2.干电池和纽扣电池

干电池也是一种化学电源。常用的干电池的中心是一根碳棒，是正极，其周围包以黑色的MnO2粉。它的外面是用NH4Cl溶液制的糨糊，最外面用锌皮裹住作为负极，然后用火漆封口即成，如图10-29（a）所示。因此这种电池的化学组成式为

Zn|NH4Cl|MnO2

这种电池的电动势为1.5V。化学电池的电动势只决定于所用的材料，与电池的尺寸无关，所以大、小号电池的电动势是一样的，但大号的电池储存能量要多一些。普通1号电池储存的能量约为7.2×103J（即2×10-3kW·h）。干电池不能进行逆反应，因而是一种消耗品。

近来在电子手表、小型计算器、心脏起搏器以至导弹和人造卫星中常用的钮扣式电池（或微型电池）也是一种“干”电池。有一种一氧化汞电池，其化学组成式为

电池的正、负极各与钢制的外壳相接。正极是由红色的氧化汞和少量的石墨组成。负极是含有10%汞的汞齐化锌粉。这些物质都可以压制成块状放入半个电池壳内或直接压入半个电池壳。在两个电极之间充有吸水性物质，叫做隔膜，它们浸透了电解质溶液。有的电池中人们也使用糨糊状的电解质，它是在电解质溶液中加入少许甲基纤维素而制成的。图10-29（b）为一种纽扣电池结构示意图，这种电池的电动势为1.35V。

3.太阳能电池

太阳能电池不是化学电源，它是直接把光能转变成电能的一种装置。它是由两种不同导电类型即电子型（N型）和空穴型（P型）硅的半导体构成的。图10-30是太阳能电池的结构示意图。在N型硅芯周围是一层P型硅，这层P型硅非常薄，约为10-4cm。当太阳光穿过P型硅薄层并照射到N型与P型硅的交界区（叫P-N结）上时，它使电子从P型硅向N型运动。

为了解释为什么太阳光能使电子通过P-N结流动，首先简单地描述一下半导体中电子和空穴的运动规律。在N型硅中，载流子是电子，而在P型硅中，载流子是空穴（正电荷）。图10-31（a）与（b）分别表示了N型硅与P型硅中的电荷情况。

当这两种类型的硅片接触并连接在一起时，一些电子将穿过界面扩散到P型材料中，而一些空穴将扩散到N型材料中，形成P-N结。P-N结是一个很薄的空间电荷区，靠P区的一边带负电，靠N区的一边带正电，从而产生了一个空间电场，这个电场的方向是由N区指向P区的，如图10-32所示。电场的存在就成为扩散运动的一个阻力，它阻止N区的电子继续向P区扩散，最后达到一种平衡。

太阳能电池的电流是由太阳光对P-N结的电场区内原子的作用产生的。当太阳光照到这些原子中的某一个原子时，使它电离，即从原子中拉出一个电子。这样就产生了一个自由电子和一个自由空穴，在P-N结电场的作用下，电子加速到结的N区一边，空穴加速到结的P区一边，其结果就形成了正电荷从N区流向P区的电流。在外电路中，电流将从P端流回N端，也就是P端作为太阳能电池的正极，N端作为太阳能电池的负极。

硅太阳能电池的电动势约为0.6mV，从它所能取得的电流是比较小的。即使强太阳光照射到面积为5cm2的单个太阳能电池上，也只能获得0.1A的电流。太阳能电池效率较低，大约只有11%的光能变成电能。为了产生可用的电力，常常将大量太阳能电池组合起来形成太阳能电池板。

如果在太阳能电池表面涂上一层放射性物质，那么它放射出的射线可以起太阳光的作用而引起电流，这样就做成了原子能电池。