2.2 Lorenz混沌系统旋转同步控制

1.问题描述及主要结论

选取Lorenz系统作为驱动-响应混沌系统

驱动系统

响应系统

式中，常数a、b、c>0；u₁、u₂、u₃是待设计的同步控制器。

定义围绕Z轴的旋转矩阵为

式中，θ_z是旋转角度，它决定了相轨迹的方位；c_z是比例因子，它决定了相轨迹的幅度大小。图2-1为绕Z轴旋转的示意图，可见状态在幅度和角度都可能发生变化。

同理，给出绕X轴、Y轴的旋转矩阵α_x和α_y分别为

下面以围绕Z轴旋转为例，设系统误差为

e=y-α_zx

则误差系统为

图2-1 绕Z轴旋转

【定义2.1】 设x和y分别是驱动系统式（2-1）和响应系统式（2-2）的状态变量，α_z是绕Z轴的旋转矩阵，若

则称驱动系统式（2-1）和响应系统式（2-2）能够实现旋转同步。

【注2.1】 由式（2-3）可知，当θ_z=0，c_z=1时，有e=y-x，旋转同步转化为完全同步。

设计如下同步控制器

【定理2.1】 针对Lorenz系统式（2-1）和式（2-2），如果在控制器式（2-5）作用下，满足不等式（2-6），则驱动系统和响应系统能够在任意初始条件下实现旋转同步。

证明略。

2.数值仿真

选取c_z=1，k₁=0，k₂=0，k₃=0，当a=10，b=8/3，c=28时，系统式（2-1）和式（2-2）呈混沌特性。

设θ_z=0，图2-2和图2-3是在控制器和旋转矩阵的作用下，驱动系统和响应系统的混沌吸引子，可见此时驱动系统和响应系统的吸引子在相空间中运动幅度大小相同，而且形状也一样，实现了完全同步。

图2-2 驱动系统的混沌吸引子（θ_z=0）

图2-3 响应系统的混沌吸引子（θ_z=0）

设θ_z=60°，由图2-4和图2-5可知，由于响应系统吸引子的旋转，造成它们的形状轨迹不相同。图2-6和图2-7是对应θ_z=0和θ_z=60的旋转同步误差曲线。

图2-4 驱动系统的混沌吸引子（θ_z=60）

图2-5 响应系统的混沌吸引子（θ_z=60）

图2-6 混沌同步误差曲线（θ_z=0）

图2-7 混沌同步误差曲线（θ_z=60）

由图2-6和图2-7可知，在响应系统中加入适当的控制器后，误差系统均能够以较快的速度收敛到零，两个混沌系统能较快地实现旋转同步。