2.3 混沌系统时变旋转同步控制

前一节研究了旋转角度固定不变的情况，下面将针对旋转矩阵的参数随时间变化的情况进行研究。

1.问题描述及主要结论

这里仍选取如式（2-1）和式（2-2）所示的Lorenz系统。定义绕Z轴的时变旋转矩阵Λ（t）如式（2-7）所示：

式中，c_z是比例因子，它决定了相轨迹的幅度大小；θ_z（t）是旋转角度，随时间t连续变化。

设系统误差为e=y-Λ（t）x，则动态误差系统为

进一步可得

【定义2.2】 设x和y分别是驱动系统式（2-1）和响应系统式（2-2）的状态变量，Λ（t）是绕Z轴的时变旋转矩阵，若

则称驱动系统式（2-1）和响应系统式（2-2）能够实现时变旋转同步。

设计如下同步控制器

【定理2.2】 针对Lorenz系统式（2-1）和式（2-2），在控制器式（2-9）作用下，满足不等式（2-10），则驱动系统和响应系统能够在任意初始条件下实现时变旋转同步。

证明略。

以上考虑的系统是三维混沌系统，下面将上述结论推广到一般混沌系统中。定义N维旋转矩阵φ∈Rⁿ×n，且φ是单位正交矩阵。

混沌系统的状态方程为

驱动系统

响应系统

式中，u是待设计的控制器。

设系统误差为e=y-Λ（t）x，则误差系统为

设计如下同步控制器

【定理2.3】 针对混沌系统式（2-11）和式（2-12），若满足式（2-15），则在控制器式（2-14）作用下，响应系统式（2-12）与驱动系统式（2-11）能够实现时变旋转同步。

P（B+K）<0 （2-15）

式中，P=diag（p₁，p₂，…，p_n）是正定矩阵，K=diag（k₁，k₂，…，k_n）。

证明略。

2.数值仿真

这里选取Lorenz系统进行仿真，选取c_z=1，时变的角度函数为θ_z（t）=0.1t+0.5。

在响应系统中引入控制器，在控制器和时变旋转矩阵作用下，得到驱动系统和响应系统的混沌吸引子，如图2-8和图2-9所示。在时变函数θ_z（t）的作用下，驱动系统和响应系统的吸引子在相空间中运动幅度大小相同，驱动系统和响应系统实现了旋转同步。

图2-8 驱动系统的混沌吸引子

图2-9 响应系统的混沌吸引子

图2-10是各状态对应的误差曲线，可知在控制器的作用下，状态误差能够以较快的速度收敛到零。

将上述时变旋转同步控制方法应用到混沌保密通信中，选取正弦信号进行仿真验证。在发送端加入正弦信号如图2-11所示，经混沌加密后的传输信号如图2-12所示，在接收端恢复出来信号如图2-13所示。

如图2-12所示，正弦信号经混沌信号x₂掩盖后，类似于杂乱无章的噪声，完全看不出正弦波的痕迹，不容易被发觉。在接收端，利用混沌同步信号y₂，将有用信号信息恢复出来，如图2-13所示。由图可知，恢复出来的正弦信号波形基本没变，只在开始系统同步的阶段信息有所失真，但时间段很短，有用的密文信息基本可以较完整地恢复出来，这也正说明了混沌同步在这种保密通信中的应用是可行且极为有效的。

图2-10 混沌同步误差曲线

图2-11 发送端正弦信号

图2-12 加密后的传输信号

图2-13 接收端恢复出来的正弦信号

实际上，由于旋转角度随时间按给定的函数连续变化，这样给窃取者预测y₂状态造成了极大的困扰，即使窃取者截取了传输中信息，但因很难实现与发送方的同步，因此无法破解信息。可见，时变旋转同步具有更好的保密效果。